Какого рода уравнение состояния мы возьмём? Масса, образованная из 10⁹ солнечных масс, является очень сильно разреженной, будучи размазанной по области с галактическими размерами; даже при температуре несколько единиц 10⁹ градусов Кельвина, газовое давление является довольно низким. Тем не менее, оказывается, что плотность излучения, которая пропорционально 𝑇⁴, даёт существенную часть энергии массы покоя нуклонной плотности. Мы получаем осмысленное приближение, пренебрегая газовым давлением по сравнению с давлением излучения; в том же самом духе, мы пренебрегаем небольшим увеличением массы нуклона, вызываемым их скоростями. В единицах энергии массы покоя нуклона мы имеем тогда, если 𝑠 - плотность нуклонов, что
ρ
=
𝑠+ε
,
(14.1.7а)
𝑝
=
1
3
ε
.
(14.1.7б)
Эти уравнения связывают 𝑝 и ρ, но мы всё ещё нуждаемся в том, чтобы в точности определить ε для того, чтобы иметь уравнение состояния. Мы делаем адиабатическое приближение, которое делает каждый, пытающийся иметь дело с такими проблемами, такое, что распределение температуры является тем же самым, как будто это есть величина, которая падает вместе с первоначально однородным распределением без всякого перемешивания или переноса энергии между различными областями. Если мы сжимаем вещество внутри ящика, все частоты вырастают на один и тот же множитель, обратно пропорциональный длине ящика. Так как энтропия является постоянной для адиабатического процесса, то температура должна увеличиваться таким же образом. Таким образом, плотность нуклонов пропорциональна кубу температуры, и плотность энергии излучения пропорциональна 𝑇. На языке температуры, измеренной в единицах 10⁹ градусов, и энергии, в единицах массы покоя нуклона, имеем
ε
=
𝑎𝑇⁴
,
𝑠
=
𝑎τ𝑇⁴
.
(14.1.8)
Величина 𝑎𝑚𝑛 где 𝑚𝑛 есть масса нуклона, есть константа, имеющая значение 8.4 г/см³; τ - параметр, связанный с не зависящей от радиуса энтропией на барион соотношением (энтропия на барион) = 4/(3τ). Эти результаты могут быть выведены также из общего условия для адиабатического сжатия, которое может быть выражено как
𝑠²
𝑑(ε/𝑠)
𝑑𝑠
=
𝑝
=
ε
3
.
(14.1.9)
Эти соотношения между давлением, плотностью и адиабатическими процессами получены в связи со звёздными задачами в классическом случае. Звёзды, в которых и давление, и плотность следуют степенным зависимостям от температуры всюду, известны как политропы.
На языке новой температуры 𝑡=𝑇/τ и новых единиц таких, что 8π𝐺𝑚𝑛𝑎τ⁴=1, система уравнений принимает следующий вид:
ρ
=
𝑎τ⁴
[
𝑡⁴
+
𝑡³
],
(14.1.10а)
𝑝
=
𝑎τ⁴
⎛
⎜
⎝
1
3
𝑡⁴
⎞
⎟
⎠
,
(14.1.10б)
𝑑𝑚
𝑑𝑟
=
1
2
[
𝑡⁴
+
𝑡³
]
𝑟²
,
(14.1.10в)
𝑑𝑡
𝑑𝑟
=-
𝑟
2
⎛
⎜
⎝
3
4
+
𝑡
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
3
𝑡⁴
+
2𝑚
𝑟³
⎞
⎟
⎠
×
⎛
⎜
⎝
1
-
2𝑚
𝑟
⎞⁻¹
⎟
⎠
.
(14.1.10г)
Какие же условия мы выбираем в качестве граничных? Мы предполагаем определённую температуру в центре и то, что поверхность является много холоднее, по существу температура равна нулю по сравнению с температурой в центре звезды. Входные величины для нахождения решений 𝑡(𝑟) и 𝑚(𝑟) попросту являются следующими:
𝑚=0,
𝑡=𝑡
𝑐
,
при
𝑟=0.
(14.1.11)
Эта задача сформулирована таким способом, что численное решение такой задачи получается очень легко. Мы начинаем решение от центра, где мы знаем, что 𝑚(𝑟)=0 и 𝑡(𝑟)=𝑡𝑐; мы вычисляем (𝑑𝑚/𝑑𝑟) из соотношения (14.1.10в), и вычисляем (𝑑𝑡/𝑑𝑟) из соотношения (14.1.10г), и затем прыгаем вперёд и назад между этими уравнениями для того, чтобы получить функции 𝑚(𝑟) и 𝑡(𝑟). Так как производная (𝑑𝑡/𝑑𝑟) будет всегда отрицательна при положительном 𝑡, то в некоторой точке 𝑟₀, 𝑡 обращается в нуль. Мы останавливаем решение в этой точке и предполагаем, что более физическое решение изменило бы только наиболее внешние слои звезды для того, чтобы сделать его убывающим более гладко по направлению к нулевой плотности, без изменения решения во внутренней части области какого угодно большого размера. Таким образом, предполагается, что радиус 𝑟₀ - есть радиус звезды, а величина 𝑚₀=𝑚(𝑟₀) - полная масса звезды.
14.2. Значение решений и их параметры
Решение, которое мы описали, оказывается справедливым для многих типов звёзд, таким образом, звёзды описываются всевозможными значениями параметра τ. Для того, чтобы дать идею определения величин 𝑚₀ и 𝑟₀ для интересующих нас случаев, мы даём коэффициенты перевода к более обычным единицам:
𝑀
≡
Масса звезды
=
=(27×10⁶
солнечная масса
)2𝑚₀/τ²
,
(14.2.1а)
𝑅
≡
Радиус звезды
=
(8×10¹²)𝑟₀/τ²
,
(14.2.1б)
𝑇
𝑐
≡
Температура в центре звезды
=
=
𝑡
𝑐
τ(10⁹
градусов
),
(14.2.1в)
𝑀
rest
≡
Масса нуклонов звезды
=
=(27×10⁶
солнечная масса
)2𝑁/τ²
.
(14.2.1г)
Существуют различные способы, пользуясь которыми мы можем увидеть, что наши уравнения описывают то, что наша интуиция одобряет. Например, для случая, когда масса 𝑚(𝑟) никогда не становится слишком большой, давление меняется в зависимости от радиуса в соответствии с ньютоновским правилом:
𝑑𝑝
𝑑𝑟
=-
𝑚(𝑟)
𝑟²
ρ
.
(14.2.2)
Интересный момент связан с полным числом нуклонов. Хотя мы могли бы иметь искушение записать попросту 4π∫𝑑𝑟𝑠𝑟², нам бы следовало вспомнить и написать соответствующие инвариантные выражения. Правильное выражение есть
𝑁
=
𝑟₀
∫
0
𝑠⁴
√
-𝑔
𝑑𝑟
𝑑θ
𝑑φ
,
√
-𝑔
=
𝑒
ν/2
𝑒
λ/2
𝑟²sin θ
,
(14.2.3)
