где 𝑠⁴ есть временной компонент четыре-вектора 𝑠^μ. Мы можем вычислить эту величину и провести интегрирование в системе, в которой нуклоны находятся в покое, в этой системе только временной компонент оказывается не равным нулю, так что мы приходим к выводу о том, что

𝑠

^μ

𝑠

_μ

=

(𝑠)²

=

𝑔₄₄

𝑠⁴𝑠⁴

,

𝑠⁴

=

𝑠

𝑒

^-ν/2

.

(14.2.4)

Итак, имеем следующий результат для полного числа нуклонов

𝑁

=

4π

𝑟₀

∫

0

𝑑𝑟

𝑠𝑟²

1

√1-2𝑚/𝑟

.

(14.2.5)

Давайте вновь посмотрим на выражение для массы звезды и попытаемся понять его более полным образом. Плотность ρ есть сумма двух членов, энергии, соответствующей массе покоя 𝑠, и энергии излучения ε. Когда мы выписываем явно массу как интеграл по правильным образом выбранным инвариантным элементам, мы видим, что плотность ρ умножается на некоторую величину, из которой вычисляется квадратный корень,

𝑚≤𝑚₀

=

4π

𝑟₀

∫

0

𝑟²𝑑𝑟

√1-2𝑚/𝑟

ρ

√

1-2𝑚/𝑟

.

(14.2.6)

Это в точности тот результат, который мы могли бы ожидать из релятивистской теории, множитель с квадратным корнем вносит поправку, учитывающую изменение плотности энергии, обусловленное влиянием гравитационной энергии.

Таблица 14.1.

𝑡

_𝑐

𝑟₀

2𝑚₀

2𝑁

0.01

1100

8.45

8.45

0.10

114

6.23

6.19

0.20

59

4.71

4.62

0.40

36

3.13

2.97

0.60

28

2.39

2.19

1.00

32

1.87

1.66

Когда мы берём температуру выше, чем 10⁹ градусов, мы должны остерегаться попыток использования таких решений, поскольку новые физические процессы, которые имеют место при столь высоких температурах, могут сделать наше уравнение состояния полностью неадекватным. Например, если нейтринные пары могут рождаться при электрон-электронных столкновениях, они могут уносить большое количество энергии, так что наши приближения могут быть полностью несправедливыми. Может оказаться, что такие процессы будут важны при температуре 10⁹ градусов, температуре, которая достаточно велика для того, чтобы существенная часть частиц имела достаточную кинетическую энергию для того, чтобы образовать электронные пары. Возможность образования таких пар будет изменять соотношения, связывающие величины 𝑠 и ε и величины ε и 𝑝. Тем не менее, в этом адиабатическом приближении эти связи полностью определяются величиной γ (давление 𝑝 пропорционально 𝑠^γ), и обнаружено, что величина γ не очень сильно меняется при изменении температуры. Она имеет одну и ту же величину для обоих экстремальных предельных случаев; для обоих случаев 𝑇→0 и 𝑇→∞ имеем γ=1.333. Имеется минимальное значение γ между этими предельными случаями температур, которое соответствует величине γ=1.270. Это наводит на мысль о том, что поправки, обусловленные влиянием электронных пар, не будут менять качественные аспекты наших ответов.

14.3. Некоторые численные результаты

Предварительные вычисления дали результаты, приведённые в таблице 14.1, для заданной величины τ при изменении только температуры в центре. В таблице приводятся значения температуры в центре 𝑡_𝑐, радиуса 𝑟₀, массы звезды 𝑚₀ и ”число нуклонов 𝑁”. Что же интересного можно сказать об этих величинах? Для того, чтобы понять, что происходит с заданной звездой, мы могли бы спросить, какая последовательность значений радиуса и центральной температуры соответствует одному и тому же числу нуклонов, если полная энергия на один нуклон падает. Мы ожидаем, что это может моделировать ситуацию в звезде, в которой излучение медленно уносит энергию. Числа в таблице не дают в достаточной степени полное представление, так чтобы мы могли быть в этом уверены, тем не менее, мы видим, что энергия на нуклон уменьшается при уменьшении температуры в центре; это есть действительно описание того, что звезда охлаждается, если она излучает энергию.

Будут ли такие звёзды самопроизвольно ”размазываться” по пространству? Устойчивость нашей звезды ещё не изучена. В рамках того же самого решения вычисления, которые приводят к одному и тому же числу нуклонов и одному и тому же значению τ, могут сравниваться как по значениям радиуса, так и по значениям температуры в центре. Факт, что очевидно имеется минимум значения 𝑟₀ при значениях температуры в центре где-то между 0.4 и 1.0, заставляет задуматься; звезда может иметь устойчивое решение. Другой способ изучения устойчивости состоит в том, чтобы рассмотреть "взрывы”. Предположим, что мы вычисляем полную энергию числа 𝑁 нуклонов с определённой энтропией на нуклон, т.е. определённым значением τ, и затем разламываем эти нуклоны на две звезды с одним и тем же значением τ, сохраняя сумму 𝑁 постоянной. Можем ли мы получить работу из этого процесса или мы должны затратить работу для того, чтобы получить конфигурацию из двух звёзд? Предполагается, что величина τ является той же самой, поскольку считается, что всё вещество двигается вместе из одной и той же начальной конфигурации. Можем ли мы найти какую-нибудь информацию о таком процессе, основываясь на приводимых выше числах? Если 𝑁 уменьшается, мы находим, что избыток массы увеличивается. Это означает, что два объекта с меньшими значениями 𝑁 могут быть более массивными, поэтому требуется работа для того, чтобы разделить такую систему. Это наводит на мысль, что звезда может не выбрасывать вещество, а сохранять его в одном коме.

Предшествующие рассмотрения также показали нам, что звёзды, которые следуют описанию в нашей модели, не могут на самом деле сформироваться; все они обладают большей энергией, чем энергия покоя нуклона, следовательно, требуется некоторая энергия для того, чтобы собрать их вместе.

Один из фактов, который мы можем обнаружить, состоит в том, что в любом случае поправки, обусловленные обшей теорией относительности, являются значительными и очень важными. В каком направлении электронные пары будут изменять наше решение? Они стремятся сделать звезду более похожей на такую, в которой в центре становится теплее при том, что электроны способствуют охлаждению внешней части звезды.

Должны ли мы всегда волноваться по поводу гравитационного радиуса? Мы написали наши уравнения таким образом, что 𝑚(𝑟)=0 в начале координат, и масса увеличивается при увеличении 𝑟. Если мы всегда получаем столь большие массы такие, что почти выполняется равенство 2𝑚(𝑟)=𝑟, то наше дифференциальное уравнение (14.1.10г) показывает, что вблизи критического значения величины 𝑟 величина 𝑡 должна была бы логарифмически стремиться к -∞. Таким образом, перед тем, как мы дойдём до такой точки, что температура упала бы до нуля, мы в нашей схеме должны были бы остановиться в этой точке. Тем не менее, численные результаты для массы и радиуса оказываются настолько далёкими от критических значений, что возможно у нас нет нужды в настоящее время беспокоиться по поводу этой проблемы.

14.4. Планы и предположения для дальнейших исследований сверхзвёзд

Имеется другое математическое определение проблемы звёзд, которое может быть пригодно для изучения. Мы получили, что полное число нуклонов в звезде задаётся соотношением