Шестнадцать величин
⎡
⎢
⎣
∂𝑥μ
∂𝑥'α
⎤
⎥
⎦𝑥₀
.
2.
Сорок величин
⎡
⎢
⎣
∂²𝑥μ
∂𝑥'α∂𝑥'β
⎤
⎥
⎦𝑥₀
.
3.
Восемьдесят величин
⎡
⎢
⎣
∂³𝑥μ
∂𝑥'α∂𝑥'β∂𝑥'γ
⎤
⎥
⎦𝑥₀
.
(7.7.3)
(Заметим, что порядок производных не имеет значения.) Другая сторона медали состоит в том, что количество величин и производных метрического тензора является следующим:
1.
Имеется 10 компонент
𝑔'
μν
(𝑥₀).
2.
Имеется сорок первых производных
𝑔'
μν
(𝑥₀,τ).
3.
Имеется сто вторых производных
𝑔'
μν
(𝑥₀,τσ).
(7.7.4)
Сначала мы можем попытаться сделать так, чтобы выполнялось равенство 𝑔'μν(𝑥₀)=ημν. Это соотношение включает в себя только первые производные [∂𝑥μ/∂𝑥'α]𝑥₀. У нас есть 10 условий, которым необходимо удовлетворить с помощью 16 свободных параметров. Мы можем легко удовлетворить этим условиям, и у нас останется ещё свободными 6 степеней свободы. Эти шесть параметров являются параметрами специальной теории относительности, преобразований Лоренца и вращений (вектор скорости, ось вращения и угол), которые могут определять преобразования, оставляющие ημν неизменным. Далее мы можем сделать так, чтобы все 40 производных 𝑔'μν,τ(𝑥₀) в точности обращались в нуль, используя сорок величин
⎡
⎢
⎣
∂²𝑥μ
∂𝑥'α∂𝑥'β
⎤
⎥
⎦𝑥₀
.
Производная 𝑔μν появляется в уравнении движения для минимального действия ∫𝑑𝑠. То, что эти производные могут в некоторой точке обращаться в нуль, означает, что все гравитационные силы могут быть устранены в любой выделенной точке пространства и в некоторый момент времени выбором подходящих ускорений.
Получившийся в конце концов результат состоит в том, что остаются двадцать линейных комбинаций вторых производных типа 𝑔'μν,τσ, которые не могут быть устранены таким преобразованием. Это те величины, которые должны описывать детальное поведение приливных сил. В следующей лекции мы приступим к построению этих двадцати величин через компоненты тензора 𝑔μν, заданные в какой бы то ни было системе координат, которую мы выбрали для исходного анализа.
Лекция 8
8.1. Преобразования компонент тензора в неортогональных координатах
В большей части предыдущих рассуждений можно было использовать упрощённое обозначение для суммирования тензорных компонент, поскольку мы всегда имели дело с координатными системами, которые были ортогональны. В частности, мы всегда использовали правило суммирования по повторяющимся индексам
𝐴
μ
𝐵
μ
=
𝐴₄𝐵⁴
-
𝐴₃𝐵³
-
𝐴₂𝐵²
-
𝐴₁𝐵¹
.
(8.1.1)
В ортогональных координатных системах эти суммы являются инвариантными скалярными величинами; хорошо знакомый частный случай представляет собой суммирование, которое определяет собственное время в специальной теории относительности
(𝑑𝑠)²
=
(𝑑𝑡)²
-
(𝑑𝑥)²
-
(𝑑𝑦)²
-
(𝑑𝑧)²
.
(8.1.2)
Для более общих координатных систем, рассматриваемых нами теперь, которые ускоряются, скручиваются и сжимаются, собственное время определяется через произведения координатных смещений и метрический тензор (7.4.7); мы видим, что конструкция скалярных инвариантов следует правилу, которое более сложно, чем правило, задаваемое соотношением (8.1.1). Координатные смещения являются прототипами того, что мы будем называть контравариантными компонентами вектора. Для удобства обозначений будем записывать компоненты с помощью верхних индексов, например 𝑑𝑥μ. Что является важным, так это закон преобразования этих контравариантных векторных компонентов при изменении системы координат. Для координатных интервалов этот закон описывается следующим соотношением:
𝑑𝑥'
μ
=
∂𝑥'μ
∂𝑥α
𝑑𝑥
α
.
(8.1.3)
Определим векторную функцию, которая представляет собой набор четырёх переменных, которые имеют характер координатных смещений и преобразуются таким же самым образом, как мы меняем координаты
𝐴
μ
(𝑥')
=
∂𝑥'μ
∂𝑥α
𝐴
α
(𝑥)
.
(8.1.4)
Мы называем величины 𝐴μ контравариантными компонентами вектора. Мы можем очень легко распространить эти определения на тензоры более высокого ранга; например, тензор есть функция, которая преобразуется таким же самым образом, как и скалярное произведение двух векторов, т.е.
𝑇
μν
(𝑥')
=
∂𝑥'μ
∂𝑥α
∂𝑥'ν
∂𝑥β
𝑇
αβ
.
(8.1.5)
Когда мы сравниваем закон преобразования для метрического тензора с определением (8.1.5), мы видим, что 𝑔μν не есть величина такого же рода, так как производные появляются в ”перевёрнутом виде”. Тем не менее, мы определили матрицу, которая является обратной к матрице 𝑔μν,
𝑔
να
𝑔
αβ
=
δ
ν
β
.
(8.1.6)
Нетрудно показать, что эта обратная матрица на самом деле составляет контравариантный тензор, так что и надлежит записывать его с двумя индексами, как мы и предчувствовали.
Аналогично предыдущему, нетрудно показать, что суммы
𝑔
μν
𝑑𝑥
μ
𝑑𝑥
ν
=
(𝑑𝑠)²
(8.1.7)
и 𝑔μν𝐴μ𝐴ν являются скалярными инвариантами; это происходит потому, что производные появляются в правильном порядке в одном случае и в ”перевёрнутом виде” в другом случае, так что после суммирования получаются δ-символы Кронекера.
Это наводит на мысль, что мы можем использовать метрический тензор 𝑔μν Для того, чтобы определить векторные компоненты иного рода, имеющие другой закон преобразования
