Локальная кривизна поверхности в точке может быть определена с помощью некоторого математического критерия, включающего в себя предельный случай измерений, проделываемых со всё более и более маленькими объектами. Мы могли бы, например, выбрать для сравнения отношения длины окружности к радиусу, отношения площадей кругов к квадратам радиусов; для случая сферических поверхностей эти отношения отличаются от тех, которые получаются на плоской поверхности, на множители (sin θ)/θ, где θ - отношение измеряемого радиуса к радиусу сферы. В пределе всё меньших и меньших кругов эта величина отличается от единицы на величину, пропорциональную площади круга. Этот коэффициент пропорциональности есть 1/𝑅² для сферы (умноженный на 3). Это число (коэффициент, характеризующий изменение площади при отклонении длины окружности от 2π) подходит для описания локальной кривизны, известной как Внутренняя Кривизна или также как Гауссова Средняя Кривизна Площади сферической поверхности, поскольку математика всех этих понятий восходит к Гауссу.

Мы можем легко рассмотреть другие кривые поверхности. Например, легко увидеть, что цилиндрическая поверхность имеет нулевую кривизну, так как цилиндрическая поверхность может быть развёрнута на плоскость без растяжения, очевидно, что отношение длины окружности к радиусу должно быть в точности равно 2π. Для более сложных случаев, если поверхности гладкие, они должны выглядеть как или параболоиды, или как гиперболические параболоиды по инфинитезимальным областям, в которых мы определили внутреннюю кривизну.

Эти поверхности описываются двумя линейными параметрами, радиусами кривизны в двух перпендикулярных плоскостях. В этом случае внутренняя кривизна определяется соотношением 1/(𝑅₁𝑅₂). Эта величина положительная, если поверхность параболическая, или отрицательная, если поверхность - гиперболический параболоид. Мы видим, что эта величина даёт правильное значение кривизны для специальных случаев сферических поверхностей и цилиндрических поверхностей; для сферы оба радиуса равны; для цилиндра один радиус равен бесконечности.

Кривизна четырёхмерного пространства будет определяться аналогичным математическим критерием. Тем не менее, мы едва ли можем ожидать, что мы окажемся в состоянии мысленно построить такие простые картинки и мы должны будем полагаться главным образом на аналитические методы, поскольку наша интуиция вероятно будет нас обманывать. Очень трудно думать о четырёхмерном пространстве специальной теории относительности, даже обладая хорошей интуицией, я считаю, что очень трудно наглядно представить то, что достаточно близко к нему, поскольку имеется знак минус в сигнатуре метрики. А представить себе такое пространство с кривизной было бы ещё труднее. Кривую двумерную поверхность удобно представлять, как кривую поверхность, погружённую в трёхмерное пространство. Но аналогичное описание для кривизны трёхмерного пространства требует концептуального погружения в пространство с шестью измерениями, а проделывая эту процедуру для четырёх измерений, мы должны думать о четырёхмерном пространстве, которое погружено в десятимерный мир. Таким образом, кривизна пространства-времени значительно сложнее, чем кривизна поверхности.

7.7. Число величин, инвариантных под действием преобразований общего вида

В четырёхмерной геометрии имеются двадцать коэффициентов, которые описывают кривизну способом, аналогичным тому, которым одна величина 1/(𝑅₁𝑅₂) описывает внутреннюю кривизну двумерной поверхности. Эти двадцать величин определяют физически значимые свойства тензора 𝑔_μν то же, что мы должны сделать, так это упростить тензор 𝑔'_μν разумным выбором координат, таким же способом, каким стало возможным определить геометрию двух измерений одной функцией ƒ(𝑥,𝑦) в соотношении (7.6.2).

Мы видели, что вообще говоря, мы не можем устранить гравитационные поля суперпозицией ускорений, за исключением одной точки. Так как кривизна может быть задана точным определением того, что происходит в инфинитезимальной области вокруг заданной точки, целесообразно изучить соответствующим образом в какой степени может быть упрощён тензор 𝑔_μν. По аналогии с двумерным случаем мы можем полагать, что возможно выбрать координаты (называемые нормальными координатами Римана) таким образом, что пространство вокруг этой точки - плоское, за исключением членов второго порядка малости от расстояния до этой точки. Другими словами, кривая поверхность отрывается от плоскости, которая является касательной к этой поверхности, причём отклонение поверхности от плоскости характеризуется величиной, которая квадратична от значений координат, измеряемых от точки касания; мы ожидаем, что аналогичная ситуация имеет место в четырёхмерном пространстве.

Давайте подсчитаем, сколько величин мы можем точно определить при преобразованиях и насколько мы можем упростить 𝑔'_μν, если мы делаем разложение в ряд функции 𝑔'_μν в окрестности некоторой точки 𝑥₀. Пусть любая точка в пространстве есть 𝑥 тогда имеется следующее разложение в ряд Тейлора функции 𝑔'_μν в окрестности точки 𝑥₀

𝑔'

_μν

(𝑥)

=

𝑔'

_μν

(𝑥₀)

+

𝑔'

_μν,τ

(𝑥₀)

(

𝑥

^τ

-

𝑥

τ

0

)+

+

1

2

𝑔'

_μν,τσ

(𝑥₀)

(

𝑥

^τ

-

𝑥

τ

0

)(

𝑥

^σ

-

𝑥

σ

0

)+…

.

(7.7.1)

Мы должны вычислить метрический тензор 𝑔'_μν(𝑥₀) и его производные согласно правилу, выраженному соотношением (7.4.8), это приводит к

𝑔'

_αβ

(𝑥₀)

=

⎡

⎢

⎣

∂𝑥^μ

∂𝑥'^α

⋅

∂𝑥^ν

∂𝑥'^β

⋅

𝑔

_μν

⎤

⎥

⎦𝑥₀

,

𝑔'

_αβ,τ

(𝑥₀)

=

⎡

⎢

⎣

∂𝑥^μ

∂𝑥'^α

⋅

∂𝑥^ν

∂𝑥'^β

⋅

𝑔

_μν,τ

⎤

⎥

⎦𝑥₀

+

+

2

⎡

⎢

⎣

∂²𝑥^μ

∂𝑥'^α∂𝑥'^τ

⋅

∂𝑥^ν

∂𝑥'^β

⋅

𝑔

_μν

⎤

⎥

⎦𝑥₀

,

𝑔'

_αβ,τσ

(𝑥₀)

=

⎡

⎢

⎣

∂𝑥^μ

∂𝑥'^α

⋅

∂𝑥^ν

∂𝑥'^β

⋅

𝑔

_μν,τσ

⎤

⎥

⎦𝑥₀

+

+

2

⎡

⎢

⎣

∂³𝑥^μ

∂𝑥'^α∂𝑥'^τ∂𝑥'^σ

⋅

∂𝑥^ν

∂𝑥'^β

⋅

𝑔

_μν

⎤

⎥

⎦𝑥₀

+ другие члены.

(7.7.2)

Мы видим, что для упрощения 𝑔'_μν мы рассматриваем только разложение до второго порядка малости, мы должны выбрать наши преобразования таким образом, чтобы частные производные, появляющиеся в соотношениях (7.7.2), имели определённые значения. Мы можем точно определить следующие величины в нашем преобразовании

1.