(𝑑𝑠)²
=
(𝑑𝑥)²
+
(𝑑𝑦)²
.
(7.5.1)
Если использовать на плоскости полярные координаты, то длина дуги задаётся соотношением:
(𝑑𝑠)²
=
(𝑑𝑟)²
+
𝑟²
(𝑑θ)²
.
(7.5.2)
Очевидно, что не имеет значения, какие символы мы используем для координат, и физика на плоскости должна быть одинакова независимо от того, используем мы декартовы координаты или полярные координаты для описания геометрии на плоскости. Это означает, что если мы находим, что описание длины дуги в некоторой системе, которую мы выбрали, корректно задаётся соотношением:
(𝑑𝑠)²
=
𝑦²
(𝑑𝑥)²
+
(𝑑𝑦)²
.
(7.5.3)
нет глубокого смысла в том, что кажется, будто длина 𝑥 меняется при изменении координаты 𝑦, поскольку простое координатное преобразование сохраняет декартово выражение для длины дуги (7.5.1).
Теперь рассмотрим более интересный случай. Представим себе, что мы - жуки, ползающие по полу, который, как мы всегда предполагали, замощён квадратными кафельными плитками, и всю нашу жизнь мы думали, что геометрия пола правильно задаётся подсчётом плиток и использованием евклидовского правила (7.5.1), что интервалы 𝑑𝑥 или 𝑑𝑦 соответствуют величине длины плитки. Но некоторые остроумные жуки начали проверять это, используя линейки, и после серии измерений пришли к результату, что измеренные длины дуг соответствуют количеству плиток следующим образом:
(𝑑𝑠)²
=
(𝑑𝑥)²+(𝑑𝑦)²
1+𝑎𝑟²
,
(7.5.4)
где 𝑟²=𝑥²+𝑦² Предположим, что эти остроумные жуки очень тщательно измеряли отношение длины окружности к величине радиуса круга, прикладывая свои линейки вдоль кривых с постоянным значением 𝑟 и от центра круга вдоль одной из осей. Их результаты дали бы следующие значения:
Длина окружности
=
∫
𝑑𝑠
=
2π
∫
0
𝑟 𝑑θ
(1+𝑎𝑟²)
=
2π𝑟
(1+𝑎𝑟²)
,
Радиус круга
=
𝑟
∫
0
𝑑𝑠
⎪
⎪
⎪𝑦=0
=
𝑟
∫
0
𝑑𝑥
(1+𝑎𝑥²)
=
𝑏
arctg
⎛
⎜
⎝
𝑟
𝑏
⎞
⎟
⎠
=
𝑅,
(7.5.5)
где 𝑏²=1/𝑎. Экспериментальный результат для отношения длины окружности к радиусу должен был бы давать в этом случае
1
𝑅
2π𝑏 tg(𝑅/𝑏)
1+tg²(𝑅/𝑏)
=
2π
sin(𝑅/𝑏)
(2𝑅/𝑏)
.
(7.5.6)
Это отношение становится равным 2π только в пределе, когда радиус окружности стремится к нулю. Именно это измеряемое соотношение и является существенным физическим результатом.
Эта частная модель, которую мы обсудили, имеет простую геометрическую интерпретацию, но мы снова подчёркиваем, что именно экспериментальные результаты очень важны и они полностью зависят от правильной формулы для длины дуги; и вовсе не имело бы значения, что мы не можем привести простую формулу геометрического смысла, который мы можем легко представить.
Мы можем сказать, что всё это время жуки живут на поверхности сферы, не зная этого. Теперь, когда мы предположили это, мы легко понимаем, почему наши измерения окружностей давали частный результат, приведённый в соотношении (7.5.6). Если сфера имеет радиус (𝑏/2), то результат, данный соотношением (7.5.6), представляет отношение длины окружности круга к длине вдоль поверхности меридиана, как показано на рис. 7.5.
Рис. 7.5.
Наша предыдущая точка зрения на гравитацию может быть сравнима с той, которая могла бы проводится более консервативными жуками. Кафельные плитки являются ”реальными” квадратами, но линейки изменяются, если мы двигаем их от места к месту, поскольку имеется поле, которое может привести к этому эффекту. Наша более новая геометрическая точка зрения будет состоять в том, что мы не можем определять ”кафельные плитки”, как ”реальные” квадраты; мы живём в мире, который, вообще говоря, неевклидов, имеет кривизну, которая измеряется проведением подходящих экспериментов. Нет нужды думать о процессах, как происходящих в пространстве, которое есть истинно евклидово, так как нет ничего физического, что могло бы быть даже измерено в этом воображаемом пространстве. Кафельные плитки просто представляют нанесение координатных меток, и любое другое нанесение меток может быть также произведено, как и предыдущее.
7.6. Кривизна в двух и четырёх измерениях
Инвариантной величиной, которая характеризует геометрию способом, не зависящим от специального выбора системы координат, является кривизна. Очень просто представить себе смысл кривизны, когда мы рассматриваем двумерную поверхность: плоское неискривлённое пространство, такое как плоскость, или искривлённое пространство, такое как кривая поверхность. Хотя в нашей последующей работе нам понадобится работать с кривизной аналитически, сейчас следует немного поработать с двумерной геометрией, которую мы можем очень просто представить; определения кривизны в более высоких измерениях есть точные аналоги определения кривизны поверхности.
В общем случае длина дуги на двумерной поверхности задаётся соотношением
(𝑑𝑠)²
=
𝑔₁₁
(𝑑𝑥)²
+
2𝑔₁₂
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
𝑔₂₂
(𝑑𝑦)²
.
(7.6.1)
Хотя очевидно, что три функции 𝑔𝑎𝑏 включены в это выражение, инвариантная геометрия определяется только одной функцией координат; оказывается, что мы имеем определённую свободу в выборе координат, например, мы можем сделать их ортогональными; мы обладаем достаточной свободой для того, чтобы наложить два условия на функции 𝑔𝑎𝑏, для этого у нас есть две функции, с помощью которых мы можем делать координатные преобразования. В частности, всегда можно выбрать координаты таким образом, что
1.
𝑔₁₂
=
0,
2.
𝑔₂₂
=
𝑔₁₁.
Это означает, что для целей изучения геометрических измерений на двумерной поверхности наиболее общим выражением для длины дуги является следующее соотношение:
(𝑑𝑠)²
=
ƒ(𝑥,𝑦)
⎛
⎝
(𝑑𝑥)²
+
(𝑑𝑦)²
⎞
⎠
.
(7.6.2)
С одной точки зрения, функция ƒ(𝑥,𝑦) представляет собой множитель, на который меняются линейки, когда мы движемся по поверхности. С другой точки зрения, она очевидно определяет кривизну пространства.
Забавный пример физической ситуации, которая в точности соответствует этим геометриям, придуман одним из студентов Робертсона. Представим себе, что человек делает измерения с помощью линейки на раскалённой пластине, которая в некоторых местах горячее, чем в других. Линейка растягивается или сжимается в зависимости от того, где делаются измерения, в более горячих или более холодных областях на плоскости; очевидно, что соответствующая функция ƒ(𝑥,𝑦) определяется локальной температурой и коэффициентом теплового расширения линейки.
