7.4. Собственное время в общих координатах
Для того, чтобы получить формулу Эйнштейна для (𝑑𝑠)², мы должны рассмотреть системы отсчёта, которые не только ускоряются, но также находятся под действием сил, которые искажают их форму произвольным образом. Мы хотим получить общую формулу для координат, которая аналогична определению координатных систем, вращающихся друг относительно друга
𝑥'
=
𝑥
cos ω𝑡
+
𝑦
sin ω𝑡
,
𝑧'
=
𝑧,
𝑦'
=
𝑦
cos ω𝑡
-
𝑥
sin ω𝑡
,
𝑡'
=
𝑡,
(7.4.1)
Мы описываем ускорение общего вида и растяжение произвольного вида, устанавливая, как каждая из четырёх координат одной системы зависит от всех координат другой системы
𝑥
=
𝑥(
𝑥',𝑦',𝑧',𝑡'
),
𝑧
=
𝑧(
𝑥',𝑦',𝑧',𝑡'
),
𝑦
=
𝑦(
𝑥',𝑦',𝑧',𝑡'
),
𝑡
=
𝑡(
𝑥',𝑦',𝑧',𝑡'
).
(7.4.2)
Рассмотрим вначале ситуацию, которая возникает, когда φ=0. В этом случае мы знаем, что собственное время в нескрученной системе есть просто (здесь мы положим 𝑐=1)
(𝑑𝑠)²
=
(𝑑𝑡)²
-
(𝑑𝑥)²
-
(𝑑𝑦)²
-
(𝑑𝑧)²
.
(7.4.3)
Для того, чтобы описать собственное время в штрихованных координатах, мы просто переписываем дифференциалы следующим образом:
𝑑𝑥
μ
=
∂𝑥μ
∂𝑥'α
𝑑𝑥'
α
,
(𝑑𝑠)²
=
η
μν
𝑑𝑥
μ
𝑑𝑥
ν
.
(7.4.4)
Это определяет метрический тензор 𝑔'αβ, который содержит описание длины дуги 𝑑𝑠 в произвольным образом скрученной и ускоренной системе
(𝑑𝑠)²
=
η
μν
∂𝑥μ
∂𝑥'α
∂𝑥ν
∂𝑥'β
𝑑𝑥'
α
𝑑𝑥'
β
=
𝑔'
αβ
𝑑𝑥'
α
𝑑𝑥'
β
.
(7.4.5)
Заметим, что 𝑔'αβ представляет десять функций координат (𝑥',𝑦',𝑧',𝑡'), так как имеется десять билинейных произведений 𝑑𝑥α𝑑𝑥β. Метрический тензор - симметричен. Как только мы имеем эти десять функций точно определёнными, то нахождение траекторий, для которых собственное время достигает максимума, должно будет представлять собой чисто математическое упражнение.
Что же происходит, когда гравитация не равна нулю? В простом случае, который мы рассматривали в предыдущем разделе, мы нашли, что собственное время задаётся чем-то вроде следующего соотношения
(𝑑𝑠)²
=
(1+2φ/𝑐²)
(𝑑𝑡)²
-
(𝑑𝑥)²
-
(𝑑𝑦)²
-
(𝑑𝑧)²
.
(7.4.6)
Это выражение только слегка отличается от случая, когда гравитационное поле равно нулю. Именно Эйнштейну принадлежала идея о том, что полное описание гравитации могло бы быть всегда определено метрическим тензором 𝑔αβ, таким как
(𝑑𝑠)²
=
𝑔
αβ
𝑑𝑥
α
𝑑𝑥
β
.
(7.4.7)
Случай нулевого поля соответствует частной простой форме для метрического тензора 𝑔αβ=ηαβ. При изменении координатной системы новый метрический тензор задаётся соотношением:
𝑔'
αβ
=
∂𝑥μ
∂𝑥'α
∂𝑥ν
∂𝑥'β
𝑔
μν
.
(7.4.8)
Как и ранее, движение частиц задаётся требованием, чтобы собственное время достигало максимального значения на траектории движения. Если возможно, используя некоторый разумный способ выбора преобразований, привести тензор к виду 𝑔'αβ=ηαβ, тогда мы можем сделать заключение, что гравитационного поля нет и что также нет и ускорения. Но это не может быть сделано в общем случае, так как общий тензор 𝑔αβ представляет десять предположительно независимых функций, и только четыре функции могут быть точно определены при преобразовании координат (7.4.2). Только при очень специфических условиях ускорения могут устранить все недиагональные члены всюду и привести этот тензор к виду ημν. Если же на самом деле имеется некоторое вещество в окружающей среде, приведение этого тензора к виду ηαβ невозможно. В этом случае все возможные тензоры 𝑔αβ, связываемые соотношениями (7.4.8), будут эквивалентны, так как ни один из них не приводит к очень простым выражениям для (𝑑𝑠)².
Каковы же наши успехи в изучении характера описания гравитационных сил? В ньютоновской теории соответствующее положение есть утверждение, что сила задаётся градиентом скалярной функции
Ньютоновская гравитация:
𝑚𝑥̈
=
𝐹
𝑥
,
𝐹
𝑥
=-
∇φ
,
Теория Эйнштейна:
δ
∫
𝑑𝑠
=
0,
(𝑑𝑠)²
=
𝑔
μν
𝑑𝑥
μ
𝑑𝑥
ν
.
(7.4.9)
Вторая часть теории соответствует точному определению того, как потенциалы (φ или 𝑔μν) связаны с веществом. В ньютоновской теории мы имеем
Δ
φ
=
4π𝐺ρ
.
(7.4.10)
В конце концов мы придём к точному определению тензора 𝑔μν, выраженному через характеристики вещества. Основная идея состоит в том, что поскольку материя есть физическая категория, в то время как системы координат нет, вещество должно быть описано таким образом, чтобы результаты решения уравнения движения не зависели от какого-либо специального выбора системы координат, тем самым ожидается, что имеющие физический смысл свойства тензора 𝑔μν должны быть инвариантными величинами при произвольных преобразованиях.
7.5. Геометрическая интерпретация метрического тензора
Тензор 𝑔μν может иметь геометрическую интерпретацию. Для приобретения необходимой интуиции мы будем изучать вкратце значение метрического тензора в случае двух измерений, чтобы понять какие инварианты включены в теорию. В случае однородных гравитационных полей мы видели, что тензор 𝑔μν описывает, как масштаб времени отличается при различных положениях точки в пространстве. В более широком смысле этот тензор представляет, как масштабы меняются от точки к точке не только во времени, но также и при изменении пространственных координат. В ортогональных декартовых координатах двумерная длина дуги 𝑑𝑠 задаётся следующим соотношением
