Один из способов описания этой ситуации состоит в том, чтобы сказать, что время течёт быстрее на вершине ящика; течение времени различно при различных гравитационных потенциалах, так что течение времени не одинаково в различных частях нашего мира. Как велико это различие хода времени может быть в различных точках пространства? Для того, чтобы вычислить это различие, мы сравниваем ход времени с абсолютными временными интервалами, определёнными через собственное время 𝑑𝑠. Предположим, что имеется два события, происходящие на вершине, о которых сообщается, что они разделены временем 𝑑𝑡, тогда

φ

=

𝑔ℎ

;

𝑑𝑠

=

𝑑𝑡

(1+φ/𝑐²)

,

(7.2.2)

в пределе малых скоростей. Величина φ есть просто разность потенциалов между положением событий и точкой отсчёта. Более точное вычисление даёт нам выражение, которое может быть использовано при всех скоростях

𝑑𝑠

=

𝑑𝑡

√

1+2φ/𝑐²

.

(7.2.3)

Вновь мы должны напомнить, что мы не просто используем ньютоновские потенциалы в этом выражении; наше определение φ должно быть релятивистски точным.

7.3. Максимальные скорости хода часов в гравитационных полях

Теперь, поскольку мы заключили, что гравитационные эффекты приводят к тому, что часы идут быстрее в областях с более высоким потенциалом, мы можем поставить забавный вопрос. Мы знаем, что часы должны идти быстрее, если мы перемещаем их вверх от поверхности Земли. С другой стороны, когда мы перемещаем их, они должны замедляться, вследствие влияния эффектов специальной теории относительности. Вопрос состоит в том, как мы должны были бы передвигать часы вверх и вниз вблизи поверхности Земли, чтобы сделать эту разницу по времени как можно больше? Для простоты рассмотрим эту задачу в предположении, что Земля имеет однородное гравитационное поле и рассматривается движение только в одном измерении. Ясно, что эта задача имеет решение. Если мы движемся очень быстро, со скоростью света, часы не обгоняют наземные часы вовсе, и мы получаем время меньшее, чем время наземных часов. Если мы поднимаем часы на очень небольшую высоту и держим их там, то будет некоторый избыток времени по сравнению с наземными часами. Ясно, что имеется некоторый оптимальный путь движения часов так, чтобы этот избыток времени был наибольшим для заданного интервала времени на Земле. Правила состоят в том, что мы должны принести часы назад для того, чтобы сравнить их с показаниями наземных стационарных часов.

Рис. 7.4.

Мы дадим ответ немедленно, хотя было бы хорошим упражнением проделать вычисление во всех деталях. Для того, чтобы сделать так, чтобы движущиеся часы ушли вперёд наибольшим образом в заданный интервал наземного времени, скажем за один час, мы должны бросить их вверх с такой скоростью, чтобы они свободно падали всё время и вернулись назад ровно через один час. См. рис. 7.4. Задача будет более сложной, если мы попытаемся проделать это в большем числе измерений, однако получается тот же самый ответ; если мы хотим сделать так, чтобы часы вернулись назад, но на другое место на Земле, мы должны осуществить движение часов по баллистической траектории. Такой же самый ответ получается для случая неоднородного гравитационного поля. Если мы должны ”выстрелить” часами с одного спутника Земли на другой, то истинная орбита часов это та, которая соответствует максимальному собственному времени.

При работе с подобными задачами возникает некоторое беспокойство, поскольку мы не сделали точных определений. Например, решения типа свободного падения не обязательно являются единственными; задача о баллистическом движении ”пушечного ядра” в общем случае имеет два решения, что означает, что два значения угла и два значения начальной скорости будут давать максимум (орбита спутника может проходить длинный путь вокруг Земли). Тем не менее, любое из этих решений соответствует максимуму времени пролёта для движущихся часов. Имеется ли для этих траекторий относительный максимум или абсолютный не столь важно для наших целей, но что важно, так это то, что эти решения наводят на мысль о том, как мы можем получить механику из вариационного принципа.

Чтобы понять значение максимальной величины времени пролёта, мы можем рассмотреть, что происходит в пределе малых скоростей. Время пролёта есть интеграл от 𝑑𝑠, который представляет скорость тикания этих часов. В нерелятивистском пределе интеграл, который должен быть максимизирован, есть

∫

𝑑𝑠

=

𝑡₁

∫

𝑡₀

𝑑𝑡

⎛

⎜

⎝

1

+

φ

𝑐²

-

𝑣²

2𝑐²

+ …

⎞

⎟

⎠

,

(7.3.1)

при

√

1-𝑣²/𝑐²

≈

1

-

𝑣²

2𝑐²

.

Первый член интегрируется по разности времени в заданной системе отсчёта (𝑡₁-𝑡₀). Другие два члена могут быть переписаны, чтобы иметь вид, который должен быть очень привычным, умножая на массу частицы и меняя знак, получим

∫

𝑑𝑠

=

(𝑡₁-𝑡₀)

-

1

𝑚𝑐²

𝑡₁

∫

𝑡₀

𝑑𝑡

⎛

⎜

⎝

1

2

𝑚𝑣²

-

𝑚φ

⎞

⎟

⎠

.

(7.3.2)

Для того, чтобы максимизировать это выражение для фиксированной величины интервала времени (𝑡₁-𝑡₀), мы берём минимум интеграла в правой части последнего соотношения. Но этот интеграл есть не что иное, как классическое действие для частицы массы 𝑚 в гравитационном потенциале φ. Мы видим, что требование того, что собственное время должно иметь максимальное значение, эквивалентно принципу наименьшего действия в классическом пределе.

Эти результаты наводят нас на мысль о том, как мы могли бы получить закон механики (эквивалентный, грубо говоря, второму закону Ньютона), который бы был релятивистским. Этот принцип состоит в том, что вариация ∫𝑑𝑠 должна быть равна нулю, т.е.

δ

2

∫

1

𝑑𝑠

=

0.

(7.3.3)

Именно Эйнштейн высказал гипотезу, что этот принцип будет описывать движение в присутствии гравитационных полей. С использованием этого принципа была решена задача нахождения уравнений движения, задаваемого этим полем. Оставшаяся проблема сейчас состоит в том, чтобы связать потенциал φ, который появляется в этом выражении, с окружающей средой. Это было огромной проблемой до Эйнштейна. Как мы можем получить правильное выражение для потенциала φ? Что происходит, если мы используем неверную теорию гравитации, как если бы мы работали в системе, в которой имеются центробежные силы, но мы не знали бы этого? Мы видели, что гравитационные силы запутанно смешены с силами инерции, так что мы не можем сделать универсально правильного разделения на эти две силы.

Догадка Эйнштейна и состояла в том, что в подобных ситуациях не должно иметь значения, рассматриваем ли мы универсально правильное значение потенциала φ или нет; если этот потенциал корректно определён, то описание физики должно быть независимо от того, каким частным образом мы разделили инерциальные и гравитационные эффекты. Таким образом, для того, чтобы сконструировать формулу для φ, которая бы удовлетворяла этому свойству, мы должны изучить очень тщательно способ, пользуясь которым, интервал собственного времени 𝑑𝑠 выражается в различных координатных системах, когда мы применяем преобразования такие, которые мы символически записывали как ”гравитация' = гравитация + ускорение”. Такое изучение может позволить нам построить выражение для 𝑑𝑠, которое является инвариантным при всех возможных преобразованиях.