Этими комментариями о проблемах, представляющих значительный интерес в настоящее время, мы заканчиваем обсуждение классической теории гравитации.
Лекция 16
16.1. Связь между полями вещества и гравитацией
В лекции 10 мы выписали члены действия, соответствующие распространению свободных частиц и полей. Всё, что не вошло ранее в полное действие, может быть рассмотрено как взаимодействие между полями, и мы можем приступить к вычислению различных процессов путём использования теории возмущений. В этом случае нет необходимости в том, чтобы оправдываться в использовании возмущений, так как гравитация намного слабее других полей, для которых кажется, что теория возмущений даёт предельно точные предсказания. Известные части общего действия являются следующими:
-
1
2λ²
∫
𝑑⁴𝑥
√
-𝑔
𝑅
+
1
2
∫
𝑑⁴𝑥
√
-𝑔
⎛
⎝
𝑔
μν
φ
,μ
φ
,ν
-
𝑚²φ²
⎞
⎠
-
-α
∫
𝑑⁴𝑥
√
-𝑔
𝑅
φ²
.
(16.1.1)
Первое приближение, которое мы сделаем, состоит в том, что мы положим коэффициент α равным нулю. Если оставить такой член в действии, то обычно ухудшается ситуация, связанная со многими проблемами расходимости, с которыми мы столкнёмся позже, и в этом случае увеличивается объём вычислений. Поскольку любой выбор этого коэффициента может быть произвольным в нынешнем состоянии искусства эксперимента, мы выбираем значение, которое упрощает вычисления наиболее удобным для нас образом. Второй шаг состоит в том, чтобы вытащить член, представляющий пропагатор этих полей, путём введения разложения
𝑔
μν
=
η
μν
+
2λ
ℎ
μν
.
(16.1.2)
После того, как мы записали действие на языке полей ℎμν и скалярного материального поля, мы получаем следующее соотношение:
Действие
=
∫
𝑑⁴𝑥
𝐹²
[ℎ
μν
]
+
∫
𝑑⁴𝑥
𝐼[ℎ
μν
,φ]
+
(16.1.3)
+
∫
𝑑⁴𝑥
𝑀[φ]
,
где
𝐹²[ℎ
μν
]
=
1
2
⎡
⎣
ℎ
μν,λ
ℎ
μν
,λ
-
2
ℎ
μλ
,λ
ℎ
μν
,ν
⎤
⎦
,
𝑀
=
1
2
⎛
⎝
η
μν
φ
,μ
φ
,ν
-
𝑚²φ
⎞
⎠
.
Вариации функции 𝐼 по отношению к полям ℎμν или φ представляют члены источника в дифференциальных уравнениях полей. Эти уравнения могут быть записаны в следующем виде в пространственном и импульсном представлениях:
□φ
-
𝑚²φ
=-
⎛
⎜
⎝
δ𝐼
δφ
⎞
⎟
⎠
→φ
=-
1
(𝑘²-𝑚²+𝑖ε)
𝐼
⎛
⎜
⎝
δ𝐼
δφ
⎞
⎟
⎠
,
-ℎ
μν,λ
,λ
+
ℎ
μλ,ν
,λ
+
ℎ
νλ,ν
,λ
=
λ
𝑆
μν
,
где
𝑆
μν
=-
1
λ
⎛
⎜
⎝
δ𝐼
δℎμν
⎞
⎟
⎠
.
(16.1.4)
Заметим, что 𝑆μν есть та величина, которую мы называли new𝑇μν в лекции 6 (см. соотношение (6.1.2)). Что мы должны делать дальше? Из-за тщательного построения первоначального действия как инвариантного интеграла может быть показано, что обыкновенная дивергенция тензора источника 𝑆μν тождественно равна нулю. В импульсном представлении
𝑘
μ
𝑆
μν
=
0.
(16.1.5)
Тензор источника содержит в себе и источники материи, и источники гравитации. Из-за свободы, которую мы имеем в выборе калибровки, мы можем сделать тензор с чертой ℎμν бездивергентным и, таким образом, получить решение
𝑘
ν
ℎ
μν
=
0→
𝑘²
ℎ
μν
=
λ
𝑆
μν
,
ℎ
μν
=
λ
𝑘²+𝑖ε
𝑆
μν
.
(16.1.6)
Тензор, стоящий справа, есть не просто тензор неизвестного источника: теперь он хорошо определён на языке первоначального действия (16.1.1) и разложения (16.1.2), так что уравнения являются совместными и энергия сохраняется. Раз у нас есть разложение по степеням константы связи λ, мы можем, используя обычные правила теории возмущения, приступить к вычислению всех диаграмм каждого заданного порядка λ. Ключевыми разложениями являются разложение 𝑔μν и разложение √𝑔. Первое легко может быть выписано по аналогии с разложением (1+𝑥)⁻¹, когда 𝑥 есть малая величина. Мы имеем
𝑔
μν
=
⎛
⎝
η
μν
+
2λ
ℎ
μν
⎞⁻¹
⎠
=
=
η
μν
-
2λ
ℎ
μν
+
4λ²
ℎ
μ
β
ℎ
βν
-
3λ³
ℎ
μβ
ℎ
βτ
ℎ
τν
+… ,
(16.1.7)
где необходимо помнить правило суммирования для плоского пространства-времени, как в соотношении (4.1.6). Выражение для разложения √-𝑔 может быть вычислено посредством манипуляций, описанных в лекции 6. Используя соотношение (6.3.11) при
𝑔
μν
=
η
μβ
⎛
⎝
δ
β
ν
+
2λ
ℎ
β
ν
⎞
⎠
,
мы имеем
√
-Det 𝑔
μν
=
=
√
-Det η
μν
exp
⎡
⎢
⎣
1
2
Tr log
⎛
⎝
δ
β
ν
+
2λ
ℎ
β
