ν
⎞
⎠
⎤
⎥
⎦
=
exp
⎡
⎢
⎣
½Tr
⎛
⎜
⎝
2λ
ℎ
β
ν
-
1
2
(2λ)²
ℎ
β
τ
ℎ
τ
ν
+
1
3
(2λ)³
ℎ
β
τ
ℎ
τ
σ
ℎ
σ
ν
+…
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
=
exp
⎡
⎢
⎣
1
2
⎛
⎜
⎝
2λ
ℎ
β
β
-
1
2
2(λ)²
ℎ
β
τ
ℎ
τ
β
+
1
3
(2λ)³
ℎ
β
τ
ℎ
τ
σ
ℎ
σ
β
+…
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
=
1
+
λ
ℎ
β
β
-
λ²
⎛
⎝
ℎ
β
ρ
ℎ
ρ
β
+… .
⎞
⎠
(16.1.8)
Подставляя эти выражения для √-𝑔 и для 𝑔μν в действие, мы получаем явные выражения для связи материи и гравитации; результат для второго члена соотношения (16.1.1) есть, например, следующий:
𝑆
𝑚
=
1
2
∫
⎡
⎢
⎣
⎛
⎝
η
μν
-
2λ
ℎ
μν
+
(2λ)²
ℎ
μβ
ℎ
β
ν
+…
⎞
⎠
(φ
,μ
φ
,ν
)
-
𝑚²φ²
⎤
⎥
⎦
×
×
⎛
⎝
1+λ
ℎ
ρ
ρ
-
λ²
(ℎ
σ
ρ
ℎ
ρ
σ
)
+…
⎞
⎠
𝑑⁴𝑥
=
=
1
2
∫
𝑑⁴𝑥
(
φ
,μ
φ
,μ
-
𝑚²φ²
)-λ
∫
𝑑⁴𝑥
ℎ
μν
⎡
⎣
φ
,μ
φ
,ν
+
1
2
𝑚²φ²
η
μν
⎤
⎦
-
-λ²
∫
𝑑⁴𝑥
⎡
⎢
⎣
1
2
ℎ
λ
ρ
ℎ
ρ
λ
(
φ
,μ
φ
,μ
-
𝑚²φ²
)-
2ℎ
μρ
ℎ
ρ
ν
φ
,μ
φ
,ν
⎤
⎥
⎦
.
(16.1.9)
Рис. 16.1.
Члены самого наиболее низкого порядка включают в себя взаимодействие двух полей φ и одного ℎ, что соответствует вершине, показанной на рис. 16.1(a). В каждой вершине мы требуем, чтобы импульсы сохранялись. Это правило происходит от объёмного интегрирования в действии: нет вклада от члена, полная фаза которого не равна нулю. Запишем решение типа плоской волны следующим образом :
ℎ
μν
=
𝑒
μν
exp(𝑖𝑞⋅𝑥)
,
φ
=
exp(𝑖𝑝⋅𝑥)
;
(16.1.10)
на языке тензора поляризации 𝑒μν амплитуда в вершине первого порядка
-2λ
⎡
⎢
⎣
𝑒
μν
¹𝑝
μ
²𝑝
ν
-
1
2
𝑒
ρ
ρ
¹𝑝
τ
²𝑝
τ
-
𝑚²
⎤
⎥
⎦
.
(16.1.11)
Рис. 16.2.
Любая диаграмма, которая включает в себя только такие вершины, теперь могла бы быть вычислена путём простой подстановки в соответствующие амплитуды в каждой вершине и пропагаторы частиц и гравитонов между вершинами в точности так же, как и в электродинамике.
Давайте посмотрим на следующий порядок. Члены, показанные в (16.1.9), включают в себя произведения двух ℎ и φ, так что две прямых и две волнистых линии сходятся вместе в некоторой точке, как показано на рис. 16.1 (б). Имеются также члены, возникающие от разложения первого члена в соотношении (16.1.1), включающего в себя произведения трёх ℎ, соответствующие диаграммам, в которых три волнистых линии сходятся в точке, как показано на рис. 16.1 (в). Обилие неявных сумм по трём индексам приводит к членам, которые очень и очень громоздки, когда они записаны явным образом. Например, один из членов, в котором три волнистых кривых сходятся вместе, есть ℎμν,βℎμβℎνα,α; когда мы переводам это на язык импульсов и компонент поляризации, мы получаем члены, соответствующие всем перестановкам трёх гравитонов, например,
𝑎
𝑞
β
𝑎
𝑒
μν
𝑏
𝑒
μβ
𝑐
𝑞
α
𝑐
𝑒
μα
+
𝑏
𝑞
β
𝑏
𝑒
μν
𝑎
𝑒
μβ
𝑐
𝑞
α
𝑐
𝑒
μα
+
+
𝑏
𝑞
β
𝑏
𝑒
μν
𝑐
𝑒
μβ
𝑎
𝑞
α
𝑎
𝑒
μα
+… .
(16.1.12)
Эта сложность сопровождает одиночную вершину, которая всегда соответствует одной части амплитуды; когда мы соединяем эти выражения, как, например, при вычислении диаграммы, подобной показанной на рис. 16.2 (а), мы можем получить ни много ни мало как 108 членов.
16.2. Завершение теории: простой пример гравитационного излучения
В предыдущем разделе мы привели полное описание теории. Осталось продолжить вычисления соответствующих диаграмм для любых физических процессов в соответствии с теми же самыми правилами, которые используются в электродинамике. Характерные примеры некоторых простейших диаграмм были разрешены в лекции 4; например, амплитуда рассеяния при обмене одиночным гравитоном задаётся в соотношении (4.3.5). На практике, при соответствующей симметризации некоторых выражений необходима определённая тщательность, но при наличии некоторого опыта это становится довольно простым, и обозначения типа ”черты” очень полезны для того, чтобы избежать чрезмерных алгебраических вычислений.
