В самом низком порядке теория завершается путём этого уточнения. Все процессы, подходящим образом описываемые ”древесными” диаграммами, не имеют трудностей для описания. "Древесными” диаграммами являются такие диаграммы, которые не содержат ни пузырей, ни замкнутых петлей типа изображённых на рис. 16.2. Такое название очевидным образом связывается с тем фактом, что ветви дерева никогда сами по себе не замыкаются.

В более высоких порядках, когда мы допускаем пузыри и петли в диаграммах, теория оказывается неудовлетворительной, так как в этом случае она приводит к глупым результатам. Методы лечения этой болезни оказываются успешными только для одно-кольцевых диаграмм. Для того, чтобы обсудить эти средства лечения, для нас было бы проще изучить вкратце теорию векторного мезона Янга - Миллса, которая вызывает такие же трудности, но с этими трудностями значительно проще работать. Некоторые из этих трудностей имеют дело с отсутствием унитарности некоторых сумм диаграмм. Мы обсудим группу соотношений, которые выполнены между различными видами диаграмм. Эти соотношения не имеют прямых тестов, связанных с экспериментами по гравитации, но некоторые из них оказываются привычными по работе с другими полевыми теориями.

Я не знаю, возможно ли развить подобное средство лечения для анализа мультикольцевых диаграмм. Я полагаю, что нет; другими словами, я полагаю, что теория неперенормируема. Является ли это существенным возражением против теории, когда мы утверждаем, что она является неперенормируемой, я не знаю.

Рис. 16.3.

Наиболее интересная из тех проблем, с которыми мы будем иметь дело, это, возможно, проблема излучения гравитационных волн. Давайте в качестве исходного примера рассмотрим излучение одиночного гравитона, следующего распаду некоторых подходящих частиц. Так как мы будем использовать скалярную теорию вещества, возможно будет наилучшим то, что мы рассматриваем некоторый распад скалярных частиц, таких как 𝐾→2π. Испускание низкочастотных гравитонов необходимо для того, чтобы сказать гравитационным образом внешнему миру, что распад произошёл, в основном так же, как фотон низкой энергии должен быть испущен при аналогичном распаде, когда некоторый заряд ускоряется. Вклад многих диаграммы, которые могут быть записаны так, что в них гравитон выходит из вершины распада, обычно много меньше, так что нам не нужды рассматривать этот случай сначала. В качестве упражнения могло бы быть полезным разрешить последние три диаграммы, показанные на рис. 16.3.

16.3. Излучение гравитонов при распаде частиц

Связь гравитонов с материей является настолько слабой, что поистине нет надежды пронаблюдать квантовые гравитационные эффекты, связанные с событиями, происходящими с элементарными частицами. В этом смысле вычисления, о которых мы говорим, что мы должны их делать, оказываются абсолютно не имеющими никакого отношения к практике. Тем не менее, мы предложили определённую теорию, и эти ненаблюдаемые процессы являются простейшими эффектами, которые наша теория предсказывает; они могут быть наблюдаемыми и важными в том случае, если взаимодействие будет сильнее.

Рис. 16.4.

Существует много одногравитонных диаграмм при распаде частицы. Для иллюстрации мы берём в рис. 16.4 а 𝑎→𝑏+𝑐. Амплитуда в вершине 𝑎-гравитона задаётся соотношением

-2λ

𝑒

^μν

⎡

⎢

⎣

¹𝑝

_μ

²𝑝

_ν

-

1

2

η

_μν

⎛

⎝

¹𝑝

_α

²𝑝

^α

-

𝑚²

⎞

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(16.3.1)

где предшествующие верхние индексы 1 и 2 обозначают материальную частицу до и после вершины. После испускания частица 𝑎 движется с импульсом (^𝑎𝑝-𝑘) к вершине распада, отсюда ²𝑝^α=(^𝑎𝑝-𝑘)^α. Если мы положим, что амплитуда распада представляется величиной 𝐴, зависящей от импульса трёх частиц (𝑎,𝑏,𝑐) чьи траектории проникают в чёрный ящик, выражение для амплитуды есть

-2λ

𝑒

^μν

⎡

⎢

⎣

^𝑎

𝑝

_μ

(

^𝑎

𝑝-𝑘)

_ν

-

1

2

η

_μν

⎧

⎩

^𝑎

𝑝

⋅

(

^𝑎

𝑝-𝑘)

-𝑚

2

𝑎

⎫

⎭

⎤

⎥

⎦

×

×

⎛

⎝

(

^𝑎

𝑝

-

𝑘

)²-

𝑚

2

𝑎

⎞⁻¹

⎠

⎡

⎢

⎣

𝐴

⎛

⎝

^𝑎

𝑝

-

𝑘,

^𝑏

𝑝,

^𝑐

𝑝

⎞

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(16.3.2)

Для наших целей точная природа амплитуды 𝐴 неважна; она представляет собой всё, что здесь происходило бы без гравитона.

Амплитуда, описываемая соотношением (16.3.2), оказывается большой только в том случае, когда пропагатор имеет очень маленькую величину, т.е. когда 𝑘 много меньше, чем ^𝑎𝑝, то движение соответствует движению практически свободной частицы. В предельном случае слабых гравитонов этот процесс идентичен процессу торможения излучения, тормозному излучению слабых фотонов; этот процесс тесно связан с классическим пределом, так как он зависит от того, как зарядовые (массовые) токи движутся. Знаменатель есть -2^𝑎𝑝⋅𝑘, и в пределе, когда частоты ω величины 𝑘 являются очень малыми, мы можем положить 𝑘=0 в числителе. Если мы выносим множитель λ/ω, то второй множитель в амплитуде имеет определённый предел, зависящий только от направления гравитона, его поляризации и амплитуды распада

λ

ω

⋅

𝑒^{μν 𝑎}𝑝_ν ^𝑎𝑝_μ

^𝑎𝑝⋅𝑘/ω

⋅

𝐴(

^𝑎

𝑝,

^𝑏

𝑝,

^𝑐

𝑝

).

(16.3.3)

Имеется три похожих диаграммы, соответствующих испусканию гравитона из любой из этих трёх частиц (𝑎,𝑏,𝑐) Диаграмма, соответствующая гравитону, выходящему из чёрного ящика, как может быть легко показано, много меньше по значению; это происходит потому, что почти нет свободной частицы, которая бы двигалась, отсюда следует, что нет ”малого” знаменателя, который бы увеличил этот член. Если мы пренебрегаем этим членом и более высокими порядками, мы находим, что амплитуда испускания некоторого количества гравитонов есть

λ

ω

⋅

𝑎

⋅

𝐴(

^𝑎

𝑝,

^𝑏

𝑝,

^𝑐

𝑝

);

𝐴

=

∑

𝑖

^𝑖

𝑝

_μ

^𝑖

𝑝

_ν

(-)

_𝑖

𝑒^μν

^𝑖𝑝⋅(𝑘/ω)

,

(16.3.4)

где 𝑖 представляет частицу, соединённую с вершиной гравитона, и где (-)_𝑖 есть множитель, равный +1 для входящей частицы и -1 для выходящей частицы. Величина 𝑎 есть кинематический игеометрический множитель. Для того, чтобы вычислить вероятность перехода, мы возводим в квадрат амплитуду, подставляем множитель плотности состояния 𝑘² 𝑑𝑘 𝑑Ω/(2π)³ и множитель нормализации, который есть π/(2𝐸_𝑖) где 𝐸_𝑖 есть энергия каждой частицы. Получаем следующий результат