𝑅
ατβσ
=-
𝑅
ταβσ
,
(а)
=-
𝑅
ατσβ
,
(б)
=+
𝑅
βσατ
.
(в)
(8.7.1)
Следующее алгебраическое соотношение содержится неявно в соотношении (8.5.9) (и, следовательно, в соотношении (8.6.16)):
𝑅
ατβσ
+
𝑅
αστβ
+
𝑅
αβστ
=
0.
(8.7.2)
Давайте посчитаем число независимых компонент тензора кривизны. Первый индекс может не быть равным второму, третий не может быть равным четвёртому. Только антисимметричные комбинации могут быть не равны нулю - мы напоминаем, что имеется шесть возможно ненулевых компонент для антисимметричного тензора второго ранга, так что за исключением симметрии, связанной с перестановкой первой пары и второй пары, здесь имелось бы 36 компонентов; последняя же симметрия (8.7.1в) уменьшает это число до (6 × 7)/2 = 21. Алгебраическое соотношение, определяемое (8.7.2), содержит только одно нетривиальное ограничение. Если два индекса являются одинаковыми, то соотношение (8.7.2) является тождеством, поскольку имеются симметрии в соотношениях (8.7.1). Например,
𝑅
1τ1σ
+
𝑅
1στ1
+
𝑅
11στ
=
𝑅
1τ1σ
-
𝑅
1τ1σ
+
0
=
0.
(8.7.3)
Так что все индексы должны быть различными для того, чтобы это алгебраическое соотношение имело смысл. Но когда все индексы различны (1,2,3,4), то имеется только одно дополнительное уравнение. Итак, в общем случае имеется только двадцать независимых компонент Великого Тензора Кривизны (Тензора Римана).
То, в чем мы нуждаемся для построения нашей теории, это не тензор, а полностью инвариантная величина, которая может быть подставлена в лагранжиан. (Вместо этого, Эйнштейн говорил, что Тензор Энергии-Импульса равен другому тензору, которые получается из тензора кривизны.) Принцип наименьшего действия должен включать в себя интеграл по всему пространству, который должен быть полностью инвариантным под действием преобразований. Подынтегральное выражение должно быть мировой скалярной величиной
∫
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑡
(Скаляр) = (Скалярный инвариант).
(8.7.4)
Мы получим такой скаляр, поднимая индексы тензора кривизны и свёртывая по парам верхних и нижних индексов. Мы можем, например, поднять первый индекс
𝑔
αλ
𝑅
ατβσ
=
𝑅
λ
τβσ
.
(8.7.5)
Но если в этом месте мы проведём свёртывание по первой паре индексов, то эта величина, к сожалению, обращается в нуль
𝑅
τ
τβσ
≡
0.
(8.7.6)
То, что необходимо сделать сначала, состоит в уменьшении ранга тензора и свёртывании по первому и последнему индексам
𝑔
ασ
𝑅
ατβσ
=
𝑅
τβ
.
(8.7.7)
(Заметим, что одну и ту же букву 𝑅 удобно использовать для всех тензоров, получаемых из тензора кривизны.) Этот тензор второго ранга (тензор Риччи) - симметричен. Затем мы вновь уменьшаем ранг тензора для того, чтобы получить нашу скалярную величину (”скалярную кривизну”) для подынтегрального выражения
𝑔
ασ
𝑔
τβ
𝑅
ατβσ
=
𝑔
τβ
𝑅
σ
τβσ
=
𝑅
σβ
βσ
=
𝑅.
(8.7.8)
Теперь интеграл по объёму от этого скаляра не является инвариантом, поскольку элемент объёма не является скаляром; величина 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑡 меняется при изменении координат, причём это изменение определяется определителем матрицы 𝐿αμ. Таким образом, интеграл от инварианта есть
∫
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑅
√
-𝑔
.
(8.7.9)
Это выражение определяет действие Эйнштейна—Гильберта для пустого пространства [Hilb 15].
Лекция 9
9.1. Модификация электродинамики, требуемая принципом эквивалентности
Принцип Эквивалентности постулирует, что ускорение будет неотличимым от гравитации в каком бы то ни было эксперименте. В частности, ускорение не может быть отличимо от гравитации по наблюдению электромагнитного излучения. В этом месте у нас возникает некоторое беспокойство, так как мы унаследовали предрассудок, что ускоренно движущийся заряд должен излучать, тогда как мы не ожидаем, что заряд, находящийся в гравитационном поле, излучает. Тем не менее, это обусловлено не ошибкой в нашем утверждении эквивалентности, а тем фактом, что закон, описывающий мощность излучения ускоренно движущегося заряда
𝑑𝑊
𝑑𝑡
=
2
3
𝑒²
𝑐³
𝑎²
,
(9.1.1)
вводит нас в заблуждение. Обычно этот закон выводится из вычисления потока из теоремы Пойнтинга вдали от заряда, и это справедливо только для круговых движений или, по крайней мере, движений, для которых характерен бесконечный рост во времени (как имеет место для постоянного ускорения). Этого закона оказывается недостаточно для того, чтобы сказать нам, ”когда” электромагнитная энергия излучается. Ответ на этот вопрос может определяться только путём нахождения силы радиационного трения, которая есть (2/3)⋅(𝑒²/𝑐³)𝒂̇. Работа против этой силы представляет собой потери энергии. Для постоянного ускорения эта сила равна нулю. Вообще говоря, работа, совершаемая против этой силы, может быть записана в виде
𝑑𝑊
𝑑𝑡
=-
2
3
𝑒²
𝑐³
𝒗⋅𝒂̇
=
2
3
𝑒²
𝑐³
𝒂⋅𝒂
-
2
3
𝑒²
𝑐³
𝑑
𝑑𝑡
(𝒗⋅𝒂),
(9.1.2)
дающая правильное выражение для 𝑑𝑊/𝑑𝑡 Для круговых или ограниченных движений средний вклад последнего члена по достаточно большому времени мал или равен нулю (через один цикл, так как величина 𝒗⋅𝒂 сохраняет своё значение, то его вклад равен нулю) и для вычисления мощности излучения достаточно более простого соотношения (9.1.1).
Конечно, в гравитационном поле законы электродинамики Максвелла должны быть модифицированы для того, чтобы удовлетворить принцип относительности. В конце концов законы Максвелла предсказывают, что фотон должен двигаться по прямой линии, и обнаружено, что фотон искривляется звездой ("падает на звезду”). Ясно, что некоторое взаимодействие между гравитацией и электродинамикой должно быть включено в более точную формулировку законов электричества для того, чтобы сделать их согласованными с принципом эквивалентности.
