Мы не будем завершать построение нашей теории гравитации до тех пор, пока мы не обсудим такие модификации электродинамики, а также механизмы излучения, приёма и поглощения гравитационных волн.
9.2. Ковариантные производные тензоров
В предыдущей лекции мы видели, как понятие кривизны возникает при обсуждении геометрических измерений. Мы можем получить более интересное представление о том, как четырёхмерная кривизна будет влиять на наш взгляд на физику, рассматривая более удачное приближение, которое состоит в том, чтобы определить кривизну как величину, описывающую, что происходит с вектором при перемещении его в пространстве. Давайте представим вновь наш двумерный мир. Если мы используем плоские евклидовы координаты, то постоянное векторное поле, существующее в пространстве, описывается постоянными компонентами. Если мы используем некоторые другие координаты, в общем случае искривлённые, постоянное векторное поле описывается компонентами, которые меняются от точки к точки. Хорошо знакомый пример состоит во введении на плоскости полярных координат, в которых постоянный вектор описывается компонентами
(
𝐴 cosθ
+
𝐵 sinθ
)=
𝐹
𝑟
,
(
𝐵 cosθ
-
𝐴 sinθ
)=
𝐹
θ
.
(9.2.1)
Первое, что мы должны сделать состоит в том, чтобы получить соотношения, которые позволят нам сравнить физически значимое различие между тензором в данной точке и его значением в окружающих точках. По сути дела мы хотим описать изменение тензора, которое до известной степени исключало бы изменения компонентов, вызываемые произвольным выбором координат. Например, мы хотим сравнить вектор в точке 𝑥μ с другим вектором, находящимся в точке, характеризуемой инфинитезимальным смещением 𝑑𝑥μ от заданной точки, перенесением одного из векторов, остающегося постоянным (более точно, остающегося параллельным самому себе) в некоторую другую точку.
Для скалярной функции (тензора нулевого ранга) подобная проблема не составляет проблем. Обычное градиентное преобразование определяется соотношением
∂φ
∂𝑥'ν
=
∂𝑥σ
∂𝑥'ν
∂φ
∂𝑥σ
,
(9.2.2)
так что градиент скаляра есть очевидно ковариантный вектор. Тем не менее, обычные градиенты векторов или тензорных величин более высокого порядка не являются тензорами; в этом случае в законе преобразования имеются члены, зависящие от случайности при выборе координат. Мы выводим соответствующее выражение для производной путём рассмотрения, как такие объекты выглядят в касательном пространстве. Так как касательное пространство - плоское, производные компонентов не содержат членов, обусловленных искривлением координат, и градиенты векторов по отношению к плоским координатам являются тензорами. Мы получим соотношение для этих тензоров в любых координатах, делая обратное преобразование от плоского пространства к произвольным координатам. Как обычно, мы употребляем разложения для того, чтобы получить такие соотношения. (”Штрихованные” координаты соответствуют плоскому пространству.) Пусть
𝑥
ν
=
𝑥'
ν
+
1
2
𝑎
ν
στ
𝑥'
σ
𝑥'
τ
+
… ,
∂𝑥ν
∂𝑥'μ
=
δ
μ
ν
+
𝑎
ν
στ
𝑥'
σ
+
… .
(9.2.3)
Используя первые члены разложения, получим
𝐴
μ
(𝑥)
=
∂𝑥ν
∂𝑥'μ
𝐴'
ν
(𝑥')
.
Поскольку мы можем переписать выражение для производной, используя соотношение (9.2.3), то получим
𝐴
μ
(𝑥)
=
𝐴'
μ
(𝑥')
+
𝑎
ν
μλ
𝑥'
λ
𝐴'
ν
(𝑥')
+
… .
(9.2.4)
Теперь возьмём градиент этого выражения по отношению к произвольным координатам и вычислим эту величину в начале координат
⎛
⎜
⎝
∂𝐴μ
∂𝑥σ
⎞
⎟
⎠₀
=
∂
∂𝑥'τ
⎛
⎜
⎝
𝐴'
μ
(𝑥')
+
𝑎
ν
μλ
𝑥'
λ
𝐴'
ν
(𝑥')
⎞
⎟
⎠₀
⎛
⎜
⎝
∂𝑥'τ
∂𝑥σ
⎞
⎟
⎠₀
=
∂𝐴'μ(𝑥')
∂𝑥'σ
+
𝑎
ν
μσ
𝐴'
ν
(𝑥')
.
(9.2.5)
Именно поскольку эта величина берётся в начале координат, все члены, линейные по 𝑥', равны нулю. Таким образом, мы получаем производную ”для плоского пространства” на языке произвольных координат
⎡
⎢
⎣
∂𝐴μ
∂𝑥σ
-
𝑎
ν
μσ
𝐴
ν
⎤
⎥
⎦
=
∂𝐴'μ
∂𝑥'σ
.
(9.2.6)
Если теперь мы запишем 𝑎νμσ через метрические тензоры, то мы получаем соотношение для ”более правильной” производной. Эта величина является тензором и известна как ковариантная производная вектора 𝐴τ. Для того, чтобы отличить эту производную от градиентов, мы будем использовать точку с запятой для обозначения ковариантного дифференцирования
𝐴
μ;τ
≡
∂𝐴μ
∂𝑥τ
-
Γ
σ
μτ
𝐴
σ
.
(9.2.7)
Доказательство того, что эта величина есть тензор, достаточно утомительно, но очень просто; всё, что для этого требуется, состоит в том, чтобы преобразовать все координаты к координатам в плоском пространстве, непосредственно вычислить производную и затем проверить полученный закон преобразования. Правило для дифференцирования контравариантного вектора аналогично предыдущему
𝐴
μ
;σ
≡
∂𝐴μ
∂𝑥σ
-
Γ
σ
μτ
𝐴
τ
.
(9.2.8)
Последнее соотношение может быть доказано более просто, если мы исходим из соотношения (9.2.7) и используем метрический тензор для поднятия и опускания индексов; перестановка метрических тензоров приводит к тому, что величина Γ меняет знак. Для того, чтобы вычислять ковариантную производную тензора, имеющего много индексов, получаем следующее правило
