𝑇
μν
ρ;σ
≡
∂𝑇μνρ
∂𝑥λ
+
Γ
μ
λσ
𝑇
σν
ρ
+
Γ
ν
λσ
𝑇
μσ
ρ
-
Γ
σ
λσ
𝑇
μν
σ
.
(9.2.9)
Другими словами, каждый индекс приводит к тому, что добавляется член, который включает в себя Γ и сам тензор. Вряд ли нужно какое-либо другое мнемоническое правило; ковариантная производная вычисляется одинаково для верхних и нижних индексов, причём вычисление производной для верхних индексов идентифицируется со знаком "+", а для нижних индексов со знаком "-", тем самым только это и надо запомнить.
Наиболее хорошо известный пример таких преобразований - это формула для ротора вектора в сферических координатах; эти формулы всегда включают в себя обычные производные, умноженные на величины компонентов этого вектора.
Полезно ещё одно соотношение для ковариантных производных. Так как ковариантные производные метрического тензора равны нулю, как легко может быть показано,
𝑔
μν
;σ
=
0,
(9.2.10)
то следующее правило применимо для произведения
(𝐴
μ
𝐵
ν
)
;σ
=
𝐴
μ
𝐵
ν
;σ
+
𝐴
μ
;σ
𝐵
ν
.
(9.2.11)
Для того, чтобы показать, что подобные соотношения действительно связывают тензорные величины, всегда допустимо так выбрать координаты, чтобы сделать доказательство проще; тензоры являются такими математическими величинами, что тензорные соотношения, доказанные в одной координатной системе, остаются справедливыми для всех других координат. Последнее соотношение легко может быть доказано при использовании перехода к плоскому касательному пространству; ковариантная производная равна обычной производной в таком пространстве.
Одно из действий кривизны состоит в том, что вторая ковариантная производная не коммутирует с первой. Мы можем явно вычислить такие величины путём повторяющегося использования соотношения (9.2.9). Сначала получаем, что
𝐴
μ
;σ;τ
=
[𝐴
μ
;σ
]
;τ
=
∂[𝐴μ;σ]
∂𝑥τ
+
Γ
μ
τλ
[𝐴
λ
;σ
]
-
Γ
λ
στ
[𝐴
μ
;λ
]
,
(9.2.12)
и повторное дифференцирование даёт нам
𝐴
μ
;σ;τ
=
∂²𝐴μ
∂𝑥τ∂𝑥σ
+
∂
∂𝑥τ
⎛
⎝
Γ
μ
σλ
𝐴
λ
⎞
⎠
+
+
Γ
μ
τλ
⎛
⎜
⎝
∂𝐴λ
∂𝑥σ
+
Γ
λ
σρ
𝐴
ρ
⎞
⎟
⎠
-
Γ
λ
στ
⎛
⎜
⎝
∂𝐴μ
∂𝑥λ
+
Γ
μ
λρ
𝐴
ρ
⎞
⎟
⎠
.
(9.2.13)
Некоммутативность порядка операций взятия ковариантных производных видна, когда мы вычисляем их разность
𝐴
μ
;στ
-
𝐴
μ
;τσ
=
⎡
⎣
Γ
μ
σρ,τ
-
Γ
μ
τρ,σ
+
Γ
μ
τλ
Γ
λ
ρσ
-
Γ
μ
σλ
Γ
λ
ρτ
⎤
⎦
𝐴
ρ
.
(9.2.14)
Множитель, на который умножается вектор 𝐴ρ, должен быть тензором, поскольку величина в левой части последнего соотношения является разностью тензоров. Этот множитель в точности является тензором кривизны, так что
𝐴
μ
;στ
-
𝐴
μ
;τσ
=
𝑅
μ
ρστ
𝐴
ρ
.
(9.2.15)
9.3. Параллельный перенос вектора
Тот факт, что тензор кривизны появляется в связи с вычислением второй ковариантной производной, служит нам той путеводной нитью, которая позволяет нам дать другую полезную геометрическую интерпретацию кривизны. Свойство некоммутативности вторых производных представляет собой предел разности векторов в том случае, если мы вначале перемещаем его вдоль оси σ, затем вдоль оси τ или сначала вдоль оси τ, затем вдоль оси σ. Если координаты плоские, то для постоянного вектора нет отличий. Если мы имеем искривлённое пространство и если мы делаем такие перемещения в различном порядке, то мы находим некоторый результирующий вектор. Значимость подобных рассмотрений для получения физических утверждений становится очевидной, когда мы осознаем, что мы не имеем физического способа определения ”подлинно постоянного” векторного поля, за исключением того, чтобы сказать, что это такое векторное поле, чьи компоненты имеют нулевые производные в касательном пространстве.
Рис. 9.1.
Как кривизна появляется при рассмотрении переноса вектора, остающегося параллельным самому себе при перемещении его по поверхности, хорошо иллюстрируется в сферической геометрии. Мы будем представлять себе, что мы переносим маленький вектор с северного полюса по меридиану до экватора, затем вдоль экватора на угол θ и возвращаем его назад на северный полюс, как показано на рис. 9.1, причём всегда переносим вектор таким образом, чтобы он оставался параллельным самому себе и был направлен на юг. Когда мы возвращаем вектор назад на северный полюс, мы видим, что наш вектор повернулся на угол θ. Кривизна 𝐾 поверхности определяется через угол, на который вектор поворачивается в том случае, если мы рассматриваем перенос этого вектора вдоль инфинитезимальной замкнутой траектории. Для поверхности
δθ
=
(Площадь внутри замкнутой кривой)
⋅
𝐾
.
(9.3.1)
Для случая треугольника на сферической поверхности этот угол в точности есть превышение (над величиной 180°) суммы углов треугольника. Для сферической поверхности эта кривизна просто равна 1/𝑅².
Обобщённое определение кривизны многомерной поверхности будет даваться через изменение вектора при его переносе вдоль замкнутой кривой, причём при таком переносе, который оставляет вектор параллельным самому себе. Так как ориентация траектории, лежащей на определённой плоскости, зависит от двух осей координат, то мы видим, что кривизна в общем случае является тензором четвёртого ранга. В трёхмерном пространстве мы могли бы разбить сферическую поверхность проведением ”радиально” внешней части от точки для заданного измеренного расстояния вдоль наикратчайших измеренных траекторий (геодезических). Компоненты кривизны вдоль различных направлений должны бы соответствовать незначительному отклонению от 2π длин больших кругов сферической поверхности.
