Наглядное представление понятия кривизны на языке более простого пространства, погружённого в пространство с более высокой размерностью, требует введения одного дополнительного измерения для каждого независимого компонента метрического тензора. Для двумерных пространств имеется три компонента метрики, и отсюда следует, что достаточно трёх измерений. Для трёх измерений метрический тензор имеет шесть независимых компонентов и для четырёх измерений имеется десять независимых компонентов.
Определение компонентов кривизны на языке изменения вектора при переносе его вдоль траектории является более общим, чем определение через дефекты в окружностях, которое не воспроизводит все признаки кривизны.
Рис. 9.2.
Связь со второй ковариантной производной может быть легко вычислена, когда мы рассматриваем последовательные перемещения вектора, сохраняя его параллельным самому себе. Так как мы проходим вдоль траектории на рис. 9.2, разность в этом векторе, получающаяся при прохождении вдоль этой траектории, должна быть
δ²
𝐴
μ
=
𝑅
μ
νστ
𝐴
ν
Δ
₁
𝑥
σ
Δ
₂
𝑥
τ
.
(9.3.2)
Так как кривизна есть тензор, антисимметричный по индексам (σ,τ), билинейные произведения Δ₁𝑥σΔ₂𝑥τ могут быть заменены на величину ½(Δ₁𝑥σΔ₂𝑥τ - Δ₁𝑥τΔ₂𝑥σ), которые являются половиной компонентов площади параллелограмма. Индексы тензоров имеют значение, которое нетрудно описать словесно; если мы рассматриваем перемещение векторов вдоль небольшой петли в плоскости (στ), компонент μ вектора меняется на величину, пропорциональную сумме по другим компонентам 𝐴ν, 𝑅μντσ𝐴μ и площади петли.
Мы уже очень много говорили о перемещении вектора параллельно самому себе, не делая это понятие математически определённым. При использовании более интуитивных терминов, это просто означает, что мы переносим конец стрелки и основание стрелки на некоторое равное смещение так близко, как только мы можем вдоль прямой линии, которая есть геодезическая. Математическое определение может быть наилучшим образом понято путём рассмотрения уравнения геодезических
𝑑²𝑥μ
𝑑𝑠²
=-
Γ
μ
νσ
𝑑𝑥ν
𝑑𝑠
𝑑𝑥σ
𝑑𝑠
.
(9.3.3)
Ясно, что вектор (𝑑𝑥μ/𝑑𝑠) вдоль геодезической представляет тангенциальную скорость Δ𝑡μ вдоль геодезической, которая есть "физическая” прямая линия. Вторая производная (𝑑²𝑥μ/𝑑𝑠²) представляет собой изменение этой скорости за интервал времени Δ𝑠
Δ
𝑠
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑥μ
𝑑𝑠²
⎞
⎟
⎠
=
Δ
𝑡
μ
=-
Γ
μ
νσ
𝑡
ν
Δ
𝑥
σ
.
(9.3.4)
Это изменение пропорционально самому вектору 𝑡ν и перемещениям Δ𝑥σ. Определение параллельного переноса аналогично; мы говорим, что вектор 𝐴'μ есть результат переноса параллельно самому себе
𝐴'
μ
=
𝐴
μ
+
δ𝐴
μ
,
где
δ𝐴
μ
=-
Γ
μ
σν
𝐴
σ
Δ
𝑥
ν
.
(9.3.5)
Легко может быть показано, что когда мы перемещаем множество векторов вдоль замкнутой кривой, перемещал каждый из них параллельно самому себе, соотношения между векторами не меняется, так что целое пространство, определённое множеством векторов, поворачивается при движении вдоль петли, это задаёт полное изменение, вызванное перемещениями. Доказательство этого утверждения состоит в проверке того, что все инвариантные скаляры
𝐵
μ
𝐴
ν
𝑔
μν
,
(9.3.6)
остаются неизменными. Это означает, что длины векторов и углы между векторами сохраняются. Единственное преобразование, которое допускает это, выглядит как поворот целого пространства.
Рис. 9.3.
Возможно, что топологические свойства пространства не полностью определяются локальной кривизной. Например, мы получили, что длины векторов сохраняются и углы между векторами сохраняются, когда мы переносим пространство параллельно самому себе. Всё же нет гарантии, что для длинной замкнутой траектории отражение недопустимо, также как и вращение. Двумерный пример таких отражений (например, неориентируемая поверхность) имеет место в ленте Мёбиуса (рис. 9.3). Если мы возьмём два вектора, один из которых параллелен, другой перпендикулярен центральной линии ленты Мёбиуса, и обойдём один раз ленту, двигаясь налево от вертикальной пунктирной линии, показанной рис. 9.3, то пространство не переходит само в себя, а испытывает отражение, обусловленное ”скрученностью” поверхности, а не просто поворот.
Теперь, когда мы определили такое понятие, как перенос вектора параллельно самому себе, мы можем получить важную формулу для тензора кривизны при движении по траектории 𝐴𝐵𝐶𝐷 на рис. 9.2. Разности в векторах при каждом инфинитезимальном перемещении задаются символами Кристоффеля Γ. Но так как эти разности не являются в точности теми же самыми вдоль (𝐴𝐵) и (𝐶𝐷), и даже, если бы эти перемещения были бы противоположны одно другому, вектор не вернулся бы к своей исходной величине. Мы можем понять, каким образом символы Кристоффеля оказываются вовлечены в доказательство этого факта. Выполняя алгебраические преобразования, приходим к соотношению (9.2.14).
Можно показать, что тензор кривизны удовлетворяет тождеству Бианки
𝑅
μ
σαβ;γ
+
𝑅
μ
σβγ;α
+
𝑅
μ
σγα;β
=
0.
(9.3.7)
Сейчас без подготовки я не стал бы говорить о геометрическом значении тождества Бианки. Имеется обычное уравнение электродинамики, которое может быть записано в виде, идентичном виду тождества Бианки, за исключением числа измерений. Тензор поля задаётся через векторный потенциал следующим соотношением:
𝐹
μν
=
∂𝐴μ
∂𝑥ν
-
∂𝐴ν
∂𝑥μ
,
(9.3.8)
другими словами 𝐹μν - ротор некоторого вектора. Но свойства содержащиеся в утверждении, что 𝐹μν есть ротор, эквивалентным образом также хорошо описываются тождеством
𝐹
μν,σ
+
𝐹
νσ,μ
+
𝐹
σμ,ν
=
0.
(9.3.9)
