(а)
𝐴
β
=
𝑔
αβ
𝐴
α
,
(б)
𝐴
β
(𝑥')
=
∂𝑥μ
∂𝑥'β
𝐴
μ
(𝑥)
,
(8.1.8)
которые мы будем называть ковариантными компонентами вектора. Скалярные инварианты, которые могут быть порождены суммированием, есть
𝐴
β
𝐵
β
.
(8.1.9)
При преобразованиях с индексами, которые мы проводим, будет важно следить за верхними и нижними индексами; в общем случае, будут допустимы суммирования только по одному нижнему и одному верхнему индексу. Например, в специальном случае ортогональных координат специальной теории относительности собственное время может быть теперь записано, как
(𝑑𝑠)²
=
η
μν
𝑑𝑥
μ
𝑑𝑥
ν
.
(8.1.10)
Тензор ημν - диагональный и имеет компоненты (1,-1,-1,-1).
Всякий раз, когда векторная величина появляется в физической задаче, например векторный потенциал в электродинамике, эта величина будет появляться в качестве или ковариантного, или контравариантного вектора. Но мы можем всегда построить один из другого, используя метрический тензор; мы можем всегда опустить или поднять индексы по своему желанию, умножая на величины 𝑔μν или на компоненты матрицы, обратной к этой матрице. Можно построить тензоры, которые были бы частично ковариантны, частично контравариантны; такие тензоры имеют несколько верхних индексов, несколько нижних, и важно записать эти индексы таким образом, чтобы не было вопроса относительно их порядка
𝑔
μα
𝑇
μν
=
𝑇
α
ν
(8.1.11)
Для специального типа симметрических тензоров 𝑔μν или 𝑔μν мы можем ослабить это правило, так как поднятие или опускание индекса производит просто δ-символ Кронекера
𝑔
μα
𝑔
αν
=
δ
μ
ν
=
δ
μ
ν
.
(8.1.12)
Мы не будем утомлять себя тем, чтобы вновь рассматривать доказательства этих соотношений, поскольку они получены много лет тому назад и могут быть найдены во множестве книг. Все они использовались Эйнштейном, который придумал эти обозначения, что упростило работу с ними, и он является ”надёжным малым” (”reliable guy”), когда придумывает подобные штуки. Перемещение индексов, поднятие их или опускание, есть нечто мнемонические, так как это соответствует перемещению индексов в производных, которые определяют эти преобразования, в соотношениях (8.1.3), (8.1.4), (8.1.5) и (8.1.8).
Нет фундаментального физического различия между ковариантными и контравариантными компонентами вектора; они имеют одинаковое физическое содержание и меняется только их представление. Для случая двух измерений мы можем легко показать графически, как представления векторов отличаются. Так как преобразования определяются как инфинитезимальные перемещения, нам нет нужды беспокоиться о кривизне пространства; всё, что здесь заключено, это наличие ортогональности или её отсутствие. Если оси координат не пересекаются под прямым углом, то имеется два способа проектирования физического смещения на оси: или перпендикулярно на ось, или параллельно другим осям, как показано на рис. 8.1. Мы видим, что тензорные компоненты описывают отсутствие ортогональности координат в заданной точке.
Рис. 8.1.
8.2. Уравнения, определяющие инварианты 𝑔μν
Теперь, когда у нас есть лучшее понимание роли метрического тензора, мы можем приступить к изучению того, какие величины могут быть построены из него, причём величины, остающиеся инвариантными при инфинитезимальных координатных преобразованиях.
То, что мы собираемся сделать сейчас, в точности совпадают с тем, что мы делали некоторое время назад при построении лагранжиана. Предположим, что мы делаем небольшое изменение в координатах
𝑥
μ
=
𝑥'
μ
+
ζ
μ
(𝑥')
,
(8.2.1)
где предполагаются, что ζμ достаточно малы, так что нам необходимо сохранять только члены первого порядка малости по ζμ. Тогда для производных справедливы следующие соотношения
∂𝑥α
∂𝑥'μ
=
δ
α
μ
+
∂ζα
∂𝑥'μ
.
(8.2.2)
Когда мы вычисляем новые компоненты 𝑔'μν мы получаем произведение двух таких производных
𝑔'
μν
(𝑥')
=
𝑔
αβ
(𝑥'+ζ)
⎛
⎜
⎝
δ
α
μ
+
∂ζα
∂𝑥'μ
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
δ
β
ν
+
∂ζβ
∂𝑥'ν
⎞
⎟
⎠
.
(8.2.3)
Если мы оставляем только члены нулевого порядка и первого порядка малости по ζμ, то получаем
𝑔'
μν
(𝑥')
=
𝑔
μν
(𝑥')
+
𝑔
αν
∂ζα
∂𝑥'μ
+
𝑔
μβ
∂ζβ
∂𝑥'ν
+
∂𝑔μν
∂𝑥'σ
ζ
σ
.
(8.2.4)
Новые компоненты 𝑔'μν равны старым компонентам 𝑔μν плюс некоторые члены порядка ζμ Когда теперь мы спрашиваем, какие функции 𝑔μν допускаются, если настаиваем, чтобы их форма осталась инвариантной, мы видим, что мы приходим к той же самой задаче, которую решили в лекции 6. Математическая задача является той же самой как и тогда, когда мы пытались найти лагранжиан, который приводил к сохраняющемуся тензору энергии-импульса.
Таким образом, имеется более чем одна точка зрения, которая приводит к одному и тому же уравнению и которая имеет то же самое физическое содержание. Мы обнаружили, что преобразование, которое возникло тогда, когда мы искали лагранжиан для гравитации, появляется также в решении чисто геометрической задачи. Мы предполагаем, следовательно, что некоторые физические и геометрически звучащие критерии эквивалентны; самосогласованность предыдущего подхода, к которому мы пришли, исходя из требования равной нулю дивергенции, должна быть эквивалентна тому условию, которое мы накладываем сейчас. В чем состоит физическая значимость инвариантов 𝑔μν?
Уравнения движения могут быть выведены из вариационного принципа
δ
∫
