𝑑𝑠

=

δ

∫

⎛

⎜

⎝

𝑔

_μν

(𝑥)

𝑑𝑥

^μ

𝑑𝑥

^ν

⎞½

⎟

⎠

=

0.

(8.2.5)

Эти вычисления могут быть проведены до конца путём введения параметра 𝑢 так что квадратный корень под интегралом становится более точно определённой величиной

∫

𝑑𝑢

⎛

⎜

⎝

𝑔

_μν

(𝑥)

𝑑𝑥^μ

𝑑𝑢

𝑑𝑥^ν

𝑑𝑢

⎞½

⎟

⎠

.

(8.2.6)

Когда решение вариационной задачи проведено до конца, получается следующее уравнение геодезических

𝑑²𝑥^ν

𝑑𝑠²

=-

Γ

μ

στ

𝑑𝑥^σ

𝑑𝑠

𝑑𝑥^τ

𝑑𝑠

,

(8.2.7)

где

Γ

μ

στ

=

𝑔

^μν

[στ,ν]

.

Так как вид этого уравнения остаются неизменным при изменении метрического тензора при произвольном преобразовании, то эти уравнения должны быть инвариантами метрики 𝑔_μν, которая содержит в себе физику данной проблемы.

8.3. О предположении, что пространство есть в точности плоское

Давайте попробуем обсудить, что мы узнали при выяснении того, что различные подходы, которые мы использовали, приводят к одним и тем же результатам. Точка зрения, которой мы до сих пор придерживались, состоит в том, что пространство описывается как пространство специальной теории относительности, которое для удобства мы будем называть галилеевым. В таком галилеевом пространстве могут существовать гравитационные поля ℎ_μν, которые приводят к тому, что линейки меняются в своей длине и скорости хода часов увеличиваются или уменьшаются. Так что говоря о результатах экспериментов мы вынуждены делать различия между масштабами действительных измерений, физическими масштабами и масштабами, с использованием которых написана эта теория, т.е. галилеевыми масштабами.

Теперь положение состоит в том, что именно физические координаты должны всегда воспроизводить одни и те же результаты. Может быть удобным для того, чтобы написать теорию в начале, предположить, что измерения делаются в пространстве, которое в принципе галилеево, но после того, как мы получим предсказываемые реальные эффекты, мы видим, что галилеево пространство не имеет смысла.

Это приводит к тому, что для нас не имеет смысла заявлять, что выбор координат, который сделал кто-либо другой, является сумасшедшим и бестолковым просто потому, что этот выбор не выглядит для нас галилеевым. Если он настаивает на трактовке такого выбора как галилеева и приписывает кривизну полям, он также абсолютно оправдывается, и это наше пространство выглядит бестолковым для него. Для любого физического результата получается один и тот же ответ независимо от того, какое исходное нанесение меток задано для положений объектов. Следовательно, мы видим, что это может быть философское улучшение, если мы могли бы сформулировать нашу теорию от начала таким способом, что нет галилеева пространства, которое входит в точное определение физики; мы всегда имеем дело с физическим пространством действительных измерений.

Мы можем снова порассуждать о человеке, который делает измерения с помощью физической линейки на раскалённой пластине. Линейка очевидно меняет длину при её передвижении от более горячих областей к более холодным. Но всё это имеет смысл только потому, что мы знаем нечто, что может измерять расстояния без такой зависимости от температуры, а именно свет. Если мы с помощью световых измерений можем вписать ”истинно евклидову” координатную систему на пластину, человек на раскалённой пластине мог бы оценить для нас величину температурного поля, т.е. поля, которое могло бы описывать, как линейка меняет свою длину при передвижении её по раскалённой пластине. Если, тем не менее, мы обманываем его и вписываем искажённую систему координат на пластине, но продолжаем говорить ему, что система координат евклидова, он даст описание другого температурного поля. Но нет способа, с помощью которого мы могли бы одурачить его, вписывая произвольные координатные системы на пластине, так что мы будем всегда менять результаты физических измерений, которые он проделывает полностью самостоятельно. Пока он использует только длины линеек в приведённых расстояниях, он будет всегда приходить к одним и тем же ответам независимо от того, к каким бы сумасшедшим температурным полям он мог бы придти, используя координаты, которые мы могли бы ему определить.

Эта ситуация совершенно ясна для случая раскалённой пластины, как для евклидова, так и неевклидова пространства, но только потому, что мы предположили, что тепло не оказывает влияния на световые измерения. Для случая гравитации, однако, мы знаем, что нет масштаба, который бы не искажался, т.е. нет такого ”света”, который бы не искажался гравитацией, и с помощью которого мы могли бы определить галилееву координатную систему. Таким образом, все координатные системы эквивалентны, и они отличаются только тем, что различные величины для полей необходимы для описания скорости хода часов или масштабов длин. Как только мы сконцентрировались на описании физических измерений, координатная система, используемая вначале, исчезает, так как она служит только для удобной расстановки меток, как метки в книгохранилище.

Есть один случай, в котором имеет смысл галилеева или евклидова координатная система, это предельный случай нулевой гравитации или предельный случай однородной температуры на раскалённой пластине. В этом случае физические и евклидовы расстояния описываются одной и той же геометрией. Если мы первоначально исходили из искривлённого нанесения меток положений, то мы могли бы обнаружить, что некоторое координатное преобразование не позволяет нам описать измерения без использования поля. Это существенное упрощение, но вновь это упрощение не обусловлено внутренней справедливостью евклидова описания геометрии, но тем фактом, что она соответствует определённой физической ситуации, которая обладает определённой физической простотой.

Если силы равны нулю всюду, то и символы Γ должны быть равны нулю всюду. Если эти силы не всюду равны нулю, то нет возможности определения ”наилучшей” системы координат. Однако возможно сделать их локально равными нулю (согласно принципу эквивалентности!).

8.4. О соотношениях между различными подходами к теории гравитации

Одна из своеобразных особенностей теории гравитации состоит в том, она имеет и полевую интерпретацию, и геометрическую интерпретацию. Так как эти интерпретации на самом деле являются двумя аспектами одной и той же теории, мы могли бы предположить, что венерианские учёные, после развития их полной полевой теории гравитации, могли бы в конце концов придти к геометрической точке зрения. Мы не можем быть абсолютно уверены в этом, так как никто никогда ещё не смог объяснить индуктивное рассуждение, никто не смог объяснить как продолжить анализ, когда мы знаем очень мало, для того, чтобы знать существенно больше.

В любом случае истина состоит в том, что поле спина 2 имеет геометрическую интерпретацию; это не является чем-то легко объяснимым, это удивительный факт. Геометрическая интерпретация не является действительно необходимой или существенной для физики. Возможно, что такое полное совпадение может быть понято как представление некоторого рода калибровочной инвариантности.

Возможно, что отношения между этими двумя точками зрения на гравитацию могли бы стать ясными после того, как мы обсудим третью точку зрения, исходя из которой, мы должны исследовать общие свойства полевых теорий при преобразованиях. Такая точка зрения будет рассматриваться нами много позже, мы обсуждаем этот вопрос здесь для того, чтобы получить ощущения тех возможных направлений, которые должны быть учтены при попытках понять, как гравитация может быть и геометрией, и полем.