Давайте сейчас и рассмотрим, что такое калибровочная инвариантность. Как обычно утверждается в электродинамике, это означает, что если мы заменяем векторный потенциал 𝐴 на
𝐴'
=
𝐴
+
∇𝑋
,
(8.4.1)
уравнения поля и физические эффекты остаются неизменными, выраженными через новый векторный потенциал 𝐴'. Этот факт может быть связан со свойством фазовой инвариантности амплитуд. Давайте теперь посмотрим, что происходит с квантово-механическими амплитудами; совершенно ясно, что если мы используем
ψ'
=
exp(𝑖𝑎)
ψ
,
при вычислении вероятности, то ничего не меняется в предсказываемой физике. В общем константа 𝑎 не приводит к появлению различий в предсказаниях. Что же происходит, если вместо константы о мы используем функцию 𝑋, которая меняется от точки к точке в пространстве? Уравнения всегда включают в себя градиенты ψ, которые есть
∇ψ'
=
exp(𝑖𝑋)
(
∇ψ
+
𝑖ψ∇𝑋
).
(8.4.2)
Однако оператор (∇-𝑖𝐴') оставляет функцию такой, что она изменилась только по фазе
(∇-𝑖𝐴')ψ'
=
exp(𝑖𝑋)
(∇-𝑖𝐴)ψ
.
(8.4.3)
Так что если имеется векторное поле, которое взаимодействует так, как мы предполагали, уравнения являются инвариантными при зависящих от пространства-времени фазовых преобразованиях этих ψ полей.
Теория векторного мезона Янга - Миллса является попыткой распространить идею калибровочного преобразования рассмотрением таким же способом инвариантности ядерного взаимодействия при изменении изотопического спина. Если амплитуда протона представляется величиной ψ, тогда
ψ'
=
exp(𝑖𝒓⋅𝒂)
ψ
,
(8.4.4)
описывает объект, который частично является протоном, частично нейтроном. Если 𝒂 есть постоянный вектор в изоспиновом пространстве, то инвариантность ядерных сил по отношению к изменениям изотопического спина означает, что новый объект ψ' действует во всех ядерных реакциях как ψ. Предложение Янга и Миллса состоит в том, что поле должно быть добавлено к лагранжиану таким способом, чтобы пространственно-зависимая фазовая замена (𝒂→𝑿) не приводила к различиям в уравнениях.
Как такие идеи могут быть связаны с гравитацией? Уравнения физики являются инвариантными, когда мы делаем координатные замены с любыми постоянными значениями 𝑎μ
𝑥'
=
𝑥
μ
+
𝑎
μ
.
(8.4.5)
Для того, чтобы сделать формально более похожими фазовые и изоспиновые преобразования, можно было бы воспользоваться импульсным представлением, так что оператор сдвига есть
exp(𝑖𝑝
μ
𝑎
μ
)
.
С другой стороны, возможно исследовать, каким образом уравнения физики могут быть сделаны инвариантными в том случае, когда мы допускаем зависящие от координат в пространстве переменные смещения (𝑎μ→ζμ) Исследование будет проводиться для более полного лагранжиана; новые члены, которые необходимы, являются в точности теми же самыми, что и для гравитационного поля. Таким образом, гравитация является тем полем, которое соответствует калибровочной инвариантности по отношению к преобразованиям смещения.
8.5. Кривизна как величина, относящаяся к касательному пространству
Мы можем рассмотреть данный вопрос геометрически, как Эйнштейн, и обратиться к кривизне и таким понятиям, которые выражаются на языке предельного перехода для величины радиуса и длины окружности. Только для того, чтобы показать, что подобный подход не является слишком сложным, мы используем его. Теперь, когда мы осознаем, что мы делаем, мы можем сделать более общие координатные преобразования. Мы говорили о том, каково было число производных. У нас была возможность сказать, что мы можем положить
𝑔
0
μν
=
η
μν
(8.5.1)
путём соответствующего выбора шестнадцати первых производных ∂𝑥α/∂𝑥'ν. Мы предполагаем также, что мы можем выбрать сорок вторых производных (∂²𝑥α/∂𝑥'μ∂𝑥'ν) таким образом, что все первые производные
𝑔
0
μν
равны нулю. Тогда имеется восемьдесят выбранных третьих производных и сотня вторых производных величины 𝑔μν. Есть двадцать линейных комбинаций этих вторых производных, причём эти комбинации могут иметь геометрическое определение. Они не могут быть устранены преобразованием координат. То, что мы будем искать - это выражение для двадцати таких величин на языке исходных величин 𝑔μν. Мы делаем данную процедуру в три шага, возвращаясь назад, так сказать. Сначала мы предполагаем, что выбрали первые и вторые производные (в выбранной точке путём преобразования к римановым нормальным координатам) таким образом, что
𝑔
0
μν
=
η
μν
и
𝑔
0
μν,σ
=
0,
и находим выражение для двадцати величин. Затем мы будем беспокоиться о том, как мы можем добиться выполнения этих условий и так выбрать новые координаты, исходя из произвольных начальных координат, чтобы получить эти двадцать величин через исходные величины 𝑔μν.
Рис. 8.2.
Сначала мы обсудим геометрически определяемые величины в терминах координат в касательном пространстве в точке. То, что мы делаем в пространстве с четырьмя измерениями, аналогично следующей ситуации в двумерном пространстве. Искривлённое пространство можно рассматривать как поверхность и сравнить геометрию поверхности в данной точке с геометрией, рассматриваемой с касательной плоскости, как показано на рис. 8.2. Исходные координат ты на искривлённом пространстве вообще говоря неортогональны и не являются соответствующим образом ориентированными для того, чтобы допустить простейшее описание геометрии на языке инварианта 1/(𝑅₁𝑅₂) Первый шаг состоит в том, чтобы определить эту внутреннюю кривизну на языке исходной геометрии.
Только вторые производные начинают описывать в данной точке отклонение искривлённого пространства от плоского. Величины, характеризующие кривизну пространства, являются в точности мерой рассогласования между поверхностью и касательной плоскостью. Эти величины дают описание самого существенного характера пространства в заданной точке. Так как мы включили в рассмотрение только первые, вторые и третьи производные координат, то мы имеем достаточно общее преобразование в следующем виде:
𝑥
α
=
𝑥'
α
+
1
2
𝑎
α
μν
𝑥'
μ
𝑥'
ν
+
1
6
𝑏
α
μνσ
𝑥'
μ
𝑥'
ν
𝑥'
σ
.
(8.5.2)
