Наша задача состоит в том, чтобы выбрать двадцать существенных комбинаций. Для первых производных мы имеем следующие выражения:
∂𝑥α
∂𝑥'μ
=
δ
α
μ
+
𝑎
α
μν
𝑥'
ν
+
1
2
𝑏
α
μνσ
𝑥'
ν
𝑥'
σ
.
(8.5.3)
В этом частном касательном пространстве метрические тензоры могут быть записаны в достаточно общем виде как
𝑔'
αβ
=
η
αβ
+
1
2
𝑥'
σ
𝑥'
τ
𝑔
0
'
αβ,στ
,
𝑔
αβ
=
η
αβ
+
1
2
𝑥
σ
𝑥
τ
𝑔
0
αβ,στ
.
(8.5.4)
Верхний индекс ”0” означает то, что рассматриваемая величина берётся в точке касания 𝑥₀. Мы получаем соответствующие инвариантные комбинации, рассматривая то, что мы имеем две произвольные системы координат в касательном пространстве, и требуем, что одни и те же формулы должны выполняться в обоих случаях. Так как эти пространства - касательные, то производные координат могут отличаться только квадратичными членами, так что
𝑎
α
μν
=
0.
(8.5.5)
Тогда необходимо только подставить одно преобразование в другое. Подставляя закон преобразования используя соотношения (8.5.3) для производных, находим
𝑔'
αβ
=
𝑔
μν
∂𝑥μ
∂𝑥'α
∂𝑥ν
∂𝑥'β
=
=
η
αβ
+
1
2
(
𝑔
0
αβ,στ
+
η
αν
𝑏
ν
βστ
+
η
βν
𝑏
ν
αστ
)
𝑥'
σ
𝑥'
τ
.
(8.5.6)
Для вторых производных величин имеем следующие соотношения
𝑔'
0
αβ,στ
=
𝑔
0
αβ,στ
+
𝑏
αβστ
+
𝑏
βαστ
,
(8.5.7)
где
𝑏
αβστ
≡
η
αν
𝑏
ν
βστ
.
Теперь, когда мы имеем эти соотношения, мы хотим получить линейные комбинации вторых производных компонентов метрики, которые не имели бы величин 𝑏αβστ. Мы используем тот факт, что величины 𝑏αβστ полностью симметричны по их трём последним индексам, в то время как 𝑏αβ,στ симметричны только по индексам στ. Переставим индексы (β↔σ) и, вычитая соответствующие выражения, получим
𝑔'
0
αβ,στ
-
𝑔'
0
ασ,βτ
-
𝑔
0
αβ,στ
+
𝑔
0
ασ,βτ
=
𝑏
βαστ
-
𝑏
σαβτ
.
(8.5.8)
Индексы (ατ) входят абсолютно симметрично в правую часть этого соотношения, но это утверждение не обязательно для левой части. Следовательно, при антисимметрировании по индексам (α-τ) мы получаем следующее соотношение
𝑅
ατβσ
=
1
2
(
𝑔
0
αβ,στ
-
𝑔
0
ασ,βτ
-
𝑔
0
τβ,σα
+
𝑔
0
τσ,βα
),
(8.5.9)
величину, которая равна самой себе в штрихованной системе координат. Таким образом, имеется двадцать линейных комбинаций, которые мы искали. Эта величина не является тензором; она не является достаточно общей; она определяется только в месте, в котором обращаются в нуль результирующие поля. Эти линейные комбинации являются несократимыми частями гравитационного тензора, теми, которые не могут быть устранены преобразованием системы координат. Они представляют чисто приливные силы. Таким образом, теперь мы имеем определённый рецепт для нахождения кривизны. Сначала найти преобразование (к римановым нормальным координатам), которое связывает величины 𝑔μν с величинами ημν, причём первые производные компонент 𝑔μν равны нулю. Тогда выраженные через преобразованные компоненты 𝑔μν величины, определяющие кривизну, задаются соотношениями (8.5.9). Эти соотношения остаются теми же самыми в любой координатной системе. Оставшаяся задача состоит в том, чтобы выразить 𝑅ατβσ через исходные произвольные координаты и исходные компоненты 𝑔μν.
8.6. Кривизна как величина, относящаяся к произвольным координатам
Вывод выражений для кривизны через общие координаты происходит наиболее гладким образом при использовании способа, состоящего в последовательном восхождении по ступенькам к искомому результату. Далее, мы снимаем ограничение на первые производные (которые теперь могут быть не равными нулю), но оставляем координаты локально ортогональными; тогда выражения 𝑔μν и 𝑔'μν следующие
𝑔
αβ
=
η
αβ
+
𝑔
0
αβ,μ
𝑥
μ
+
1
2
𝑔
0
ασ,μν
𝑥
μ
𝑥
ν
,
𝑔'
αβ
=
η
αβ
+
1
2
𝑔'
0
αβ,στ
𝑥'
σ
𝑥'
τ
.
(8.6.1)
Величина 𝑔' есть та же самая, что и была ранее с нулевыми первыми производными. Так как мы уже выбрали вторые производные, нам необходимо только рассмотреть преобразование типа
𝑥
α
=
𝑥'
α
+
1
2
𝑎
α
μν
𝑥'
μ
𝑥'
ν
.
(8.6.2)
Кубические члены не будут влиять на правильность приводимого ниже результата. Выражение для первых производных
∂𝑥α
∂𝑥'μ
=
δ
α
μ
+
α
α
μν
𝑥'
ν
(8.6.3)
вставляем в уравнение, выражающее 𝑔' через 𝑔,
η
αβ
+
1
2
𝑔'
0
αβ,στ
𝑥'σ
𝑥'τ
=
η
αβ
+(
𝑔
0
αβ,σ
+
𝑎
βασ
+
𝑎
αβσ
