𝑏(-2𝐺𝑀𝑢)²
+
…,
(5.1.2)
в наших уравнениях, но для того, чтобы найти следствия нашей существующей теории, мы должны положить 𝑎=𝑏=0 и α=β=1 в этих формулах в самом конце. В случае нашей скалярной теории α=β=1 и φ=-2𝐺𝑀/𝑟 Предположим, что потенциал φ в естественных единицах нашей задачи 𝑚𝑐 много меньше 1, так что мы можем разложить множитель 1/(1+φ) в ряд по φ тогда уравнение движения принимает следующий вид:
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑢
𝑑θ
⎞²
⎟
⎠
+
𝑢²
=
1
𝐿²
(𝐾²-1-φ)
(1-φ+φ²-…)
(1-ψ)
.
(5.1.3)
Перепишем теперь правую часть этого уравнения как ряд по степеням 𝑢. Сохраняя только первый и второй степени малого потенциала, 2𝐺𝑀𝑢 и 𝐾²-1, мы имеем
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑢
𝑑θ
⎞²
⎟
⎠
+
𝑢²
=
𝐴
+
𝐵𝑢
+
𝐵𝑢²
+
…,
(5.1.4)
где
𝐴
=
1
𝐿²
(𝐾²-1)
;
𝐵
=
2𝐺𝑀
𝐿²
[
(𝐾²-1)
(α+β)+α
];
𝐶
=
(2𝐺𝑀)²
𝐿²
[
𝐾²α²
+
𝐾²αβ
-
𝐾²α
-
(𝐾²-1)𝑏
].
Продифференцируем по переменной θ; после сокращения общих множителей уравнение принимает такой вид, для которого довольно просто найти возмущённые решения
𝑑²𝑢
𝑑θ²
+
𝑢
=
1
2
𝐵
+
𝐶𝑢
+
+… .
(5.1.5)
Когда 𝐶=0, это уравнение имеет решения типа простых конических сечений ньютоновских теорий. Переменная 𝑢 испытывает гармонические осцилляции около точки 𝐵/2 как функция θ. Для эллиптических орбит частота равна 1, так что радиальная координата 𝑟 возвращается к своему начальному значению при изменении значения угла θ на 2π движение в точности циклическое. Когда 𝐶 не равно нулю, частота равна ω=√1-𝐶. Угловой период в этом случае больше, так что перигелий поворачивается при угловом изменении 𝑇=2π/ω=2π(1+𝐶/2+…). Угол π𝐶 представляет прецессию перигелия за один планетарный год, так как 𝐶≪1.
Для нерелятивистской планеты мы получаем значение прецессии довольно просто; нерелятивистский предел имеет место, когда общая энергия 𝐾 близка к 1 (в естественных единицах 𝑚𝑐²). В этом случае легко показывается, что уравнение (5.1.5) сводится в точности к ньютоновскому уравнению, как это и должно быть. То, что наша теория должна иметь правильный нерелятивистский предел, является более важным, чем то, что она даст правильное значение для прецессии! Когда 𝐾²-1≈0, прецессия за планетарный год равна
π𝐶
=
(α²+𝑎+αβ)
4π𝑀²𝐺²𝐿⁻²
.
(5.1.6)
При существующей теории α=β=1, 𝑎=0, эта величина получается равной 57 секунд дуги в столетие (в земных годах) для планеты Меркурия. Для других планет эти значения значительно меньше, как например, 4 секунды дуги в столетие для случая рассмотрения орбиты Земли. Астрономические наблюдения для прецессии перигелия Меркурия дают значение 5270ʺ дуги в столетие. Однако, почти вся эта величина может быть объяснена влиянием возмущений вследствие влияния других планет. Когда же аккуратно делаются поправки (с использованием чисто ньютоновской теории), отличие между наблюдаемой и вычисленной прецессией оказывается равным 41±2 секунд. Наша теория даёт ответ, который, очевидно, слишком велик (по сравнению с отличием между наблюдаемым значением прецессии и вычисленной величиной в рамках ньютоновской теории), и множитель, который характеризует различие между отличием наблюдаемой и вычисленной (в рамках ньютоновской теории) прецессией и вычисленным нами в рамках слабого приближения эйнштейновской теории гравитации смещением перигелия, имеет значение порядка 4/3.1
1 В последнее время достигнуто существенно более точное соответствие предсказаний ОТО и наблюдений. Так, например, в книге Вейнберга [Wein 72] приведены следующие данные: предсказание в рамках ОТО даёт значение 43.03ʺ/столетие, а различие наблюдений и предсказания в рамках ньютоновской теории гравитации даёт результат 43.11±0.45ʺ/столетие. (Прим. перев.)
Результаты оказались настолько близки, что перед тем, как заняться уточнением нашей теории, мы могли бы тщательно проверить наблюдательные данные и вычисления для того, чтобы быть уверенными в том, что эти различия действительно имеют место. Такая проверка была проводилась неоднократно, и величина для отличия наблюдаемой и предсказываемой в рамках ньютоновской теории прецессии Меркурия осталась прежней (т.е. равной 41±2ʺ). Мы могли бы рассмотреть возможность физических объяснений. Если бы имелась ненаблюдаемая до сих пор планета внутри орбиты Меркурия, или если бы Солнце имело существенно квадрупольное распределение массы, так что оно было бы более сплюснуто, то дополнительная прецессия могла бы иметь место. Когда мы действительно делаем оценки для того, чтобы понять, насколько же велика должна быть такая деформация, мы приходим к величинам, которые много больше тех, которые могли бы быть приняты как физически разумные. Солнце вращается слишком медленно для того, чтобы иметь квадрупольный момент достаточной величины. Были сделаны также оценки для того, чтобы объяснить расхождение наличием внутренних планет, и было показано, что подобное объяснение также не является удовлетворительным. Отсюда мы должны заключить, что наша теория неверна.
Перед обсуждением того, что неверно в нашей нынешней теории, мы можем использовать анализ орбит для того, чтобы получить количественный результат для отклонения очень быстрых частиц при прохождении их вблизи Солнца. Релятивистский предел получается, когда 𝐾²≫1, т.е. полная энергия много больше, чем энергия покоя. Импульс равен √𝐾²-1. В пределе 𝐾≫1 можно показать, что уравнения могут быть приведены к виду, аналогичному тому, который имеет место в ньютоновской теории, за исключением того, что потенциал умножается на величину (β+α). Так как β=α, то наши предсказания для угла отклонения в общем случае дают величину, которая в два раза больше, чем величина угла, получаемая в ньютоновской теории.
Численное предсказание состоит в том, что очень быстрые частицы (𝑣=𝑐), проходящие вблизи поверхности Солнца, должны бы отклоняться на угол 1.75ʺ. Были проведены измерения отклонения лучей света, испускаемого звёздами, при прохождении лучей вблизи поверхности Солнца, и полученные результаты оказались обнадёживающе близки к теоретическим предсказаниям. Наблюдения в принципе являются прямыми, но достаточно сложно увидеть какие бы то ни было звёзды, когда на небо выходит Солнце, не говоря о том, что оно должно быть достаточно близко к этим звёздам. Для анализа берутся изображения областей неба и сравниваются с изображениями, которые получаются в течение полного солнечного затмения. Когда поле звёзд, наблюдаемое во время солнечного затмения, налагается на исходное поле звёзд, наблюдаемое тогда, когда Солнце находится вдали от этого поля звёзд, то можно определить сдвиг от Солнца положений звёзд, который тем больше, чем ближе было исходное положение к солнечному диску (на небесной сфере). Анализ данных может быть достаточно продолжительным; два таких эксперимента давали значения, соответствующие отклонениям 2.01 и 1.70 секунд дуги для света, проходящего вблизи поверхности Солнца, так что предсказание для угла отклонения, равного 1.75 секундам, вообще говоря, согласуется с этими наблюдениями.1
