¹ Наблюдения с помощью методов радиоинтерферометрии подтвердили формулу Эйнштейна для отклонения лучей света с точностью до 1% [Заха 97*, Coun 74*, Foma 76*]. (Прим. перев.)

5.2. Замедление времени в гравитационном поле

На настоящий момент у нас имеется теория, которая, очевидно, согласуется с наблюдениями за исключением того, что мы переоценили величину прецессии орбит планет на множитель порядка 4/3. Мы можем представить, как и венерианские теоретики, что пока идёт обсуждение остаточных возмущений или пока делаются более точные измерения, разумно продолжить развитие теории в её нынешней форме для того, чтобы обнаружить некоторые новые эффекты, которые могли бы быть проверены, или обнаружить скрытые противоречия теории.

Если мы сравниваем дифференциальные уравнения движения частиц в электрическом и гравитационном полях, мы обнаруживаем, что уравнения движения в гравитационном поле имеет качественно отличный новый признак; не только градиенты, но и сами потенциалы появляются в уравнениях движения

Электромагнетизм:

𝑑²𝑥^μ

𝑑𝑠²

=-

𝑒

𝑚₀

⎛

⎜

⎝

∂𝐴^μ

∂𝑥^ν

-

∂𝐴_ν

∂𝑥_μ

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥^ν

𝑑𝑠

,

Гравитация:

𝑑

𝑑𝑠

⎛

⎜

⎝

𝑔

_αβ

𝑑𝑥^β

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

=

1

2

∂𝑔_μν

∂𝑥^α

𝑑𝑥^μ

𝑑𝑠

𝑑𝑥^ν

𝑑𝑠

.

(5.2.1)

Таким образом, даже хотя дифференциальные уравнения для самих полей весьма близки, существует различие в их интерпретации. Например, эти уравнения не говорят одно и то же в области с постоянным потенциалом и в области с нулевым потенциалом, хотя ускорения в обоих случаях равны нулю. Во вселенной вклад в потенциал, обусловленный удалёнными скоплениями,¹ должен быть практически постоянным по большим областям пространства, так что используем такое приближение.

¹ Мы будем пользоваться термином ”скопления” наряду с используемым Фейнманом словом ”nebulae” - ”туманности”, что ранее обозначало всякий неподвижный на небе объект. (Прим. перев.)

Вернёмся к формулировке теории в терминах лагранжиана и вариационного принципа для того, чтобы увидеть новые соотношения с величайшей простотой и общностью. Будем предполагать, что в некоторой подобласти пространства гравитационный тензор 𝑔_μν не зависит от координат и имеет следующее значение

𝑔₄₄

=

1+ε

;

𝑔₁₁

=

𝑔₂₂

=

𝑔₃₃

=

-1.

(5.2.2)

Мы предполагаем отрицательный потенциал, обусловленный влиянием удалённых масс, ε<0. Имеем следующее выражение для действия

-

𝑚₀

2

∫

𝑑α

𝑔

_μν

𝑑𝑥^μ

𝑑α

𝑑𝑥^ν

𝑑α

=

=-

𝑚₀

2

∫

𝑑α

⎡

⎢

⎣

(1+ε)

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑡

𝑑α

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥

𝑑α

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑦

𝑑α

⎞²

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑧

𝑑α

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(5.2.3)

Очевидно, что простая подстановка 𝑡'=𝑡√1+ε восстанавливает выражение для интервала в его предыдущей алгебраической форме. Ясно, что влияние постоянного потенциала подобно изменению масштаба времени так, чтобы заставить физические процессы протекать более медленно в областях более низкого гравитационного потенциала.

Аргумент на языке только свободных частиц не является значимым, поскольку мы не можем утверждать, что скорость, при которой ничего не происходит, может меняться. Мы должны взглянуть на поведение взаимодействующих частиц. С этой целью мы продолжаем использование нашей теории скалярного вещества; интеграл действия равен

1

2

∫

𝑑⁴𝑥

(

φ

^,σ

φ

_,σ

-

𝑚²φ²

)-

λ

∫

𝑑⁴𝑥

ℎ

_μν

𝑇

^μν

,

(5.2.4)

где

𝑇

^μν

=

φ

^,ν

∂ℒ

∂φ_,ν

-

η

^μν

ℒ

.

(5.2.4')

Мы можем явно разделить пространственные производные и производные по времени в градиентах и также выделить время в элементе объёма 𝑑⁴𝑥. Мы предполагаем, что поправки ε меньше 1, так что разложение разрешено, и мы получаем следующее выражение для интеграла действия

1

2

∫

𝑑³𝑥

𝑑𝑡

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

∂φ

∂𝑡

⎞²

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

1-

ε

2

⎞

⎟

⎠

-

(∇φ)²

⎛

⎜

⎝

1+

ε

2

⎞

⎟

⎠

-

𝑚²φ²

⎛

⎜

⎝

1+

ε

2

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(5.2.5)

Снова оказывается, что при 𝑑𝑡'=𝑑𝑡=√1+ε/2≈𝑑𝑡(1+ε/2) действие возвращается к своей первоначальной алгебраической форме. Ясно, что замедление времени имеет место для наших скалярных мезонов, представляемых φ. Можно показать, что замедление времени должно иметь место для всех взаимодействий, безотносительно к точной природе лагранжиана. Мы можем доказать с помощью формулы Вентцеля (5.2.4') для 𝑇^μν. Гравитационное взаимодействие может быть явно отделено от остальной части лагранжиана, какой бы он ни был

ℒ(общ)

=

ℒ₀

-

λℎ

_μν

𝑇

^μν

.

(5.2.6)

При использовании выражение (5.2.4') и 𝑔_μν из (5.2.2) так, что λℎ₄₄, полный лагранжиан равен ℒ-(ε/2)𝑇₄₄ или

ℒ(общ)

=

ℒ(1+ε/2)

-

∂ℒ

∂ψ_,𝑡

ψ

_,𝑡

(ε/2)

.

(5.2.7)

Предположим поэтому, что полный лагранжиан (включающий наш постоянный гравитационный потенциал) включает в себя только поле ψ и его градиенты. Интеграл действия, выраженный через переменную 𝑡', по крайней мере, в первом порядке по ε, равен