Действие

=

∫

𝑑³𝑥

𝑑𝑡'

ℒ(ψ

_,𝑡'

,ψ,ψ

_,𝑥

)

,

(5.2.8)

так как ψ_,𝑡'=(1+ε)^-½ψ_,𝑡,

Действие

=

∫

𝑑³𝑥

(1+ε)

^½

𝑑𝑡

ℒ((1+ε)

^-½

ψ

_,𝑡

,ψ,ψ

_,𝑥

)

.

Результат всего этого состоит в том, что любые члены в лагранжиане, в которые включены градиенты по времени ψ_,𝑡 имеют свои собственные множители √1+ε, так что подстановка 𝑡'=𝑡√1+ε в точности воспроизводит влияние постоянного гравитационного поля. Следовательно, вся физика остаётся той же самой, за исключением замедления времени.

Гравитационные потенциалы отрицательны, так что часы должны были бы идти медленнее в том случае, если они приближаются ближе к массивному объекту, такому как звезда. Можно было бы задать вопрос о том, имеется ли возможность того, что величина (1+ε) будет отрицательной, так как ε=-2𝐺𝑀/𝑟 Практически такой вопрос никогда не возникает, поскольку величина 𝐺 очень мала. Для звезды с солнечной массой мы бы имели ε=-1, только если эта масса была бы сосредоточена внутри сферы с радиусом порядка 1.5 километров. Тем не менее, математическая возможность ε<-1 имеется в нашей теории, и мы будем обсуждать ниже возможность того, как даже в улучшенной теории возникают подобные трудности.

Таким образом, мы имеем новое предсказание наших гравитационных теорий, часы должны были бы идти более медленно в областях с более низким гравитационным потенциалом. Земляне провели такой эксперимент, в котором производилось испускание фотонов вблизи поверхности Земли с высоты 24 метров. Фотоны испускались на вершине и поглощались на дне; использовались предельно узкие линии, открытые Мёссбауэром, связанные с ядерными переходами в кристаллах. Небольшое изменение в частоте, связанное с падением фотонов в гравитационном поле (1 часть из 10¹⁵), компенсируется искусственным эффектом Допплера. Когда поглощение, как функция относительных скоростей кристаллов, используется для того, чтобы определить сдвиг частоты, то результаты согласуются с теоретическими предсказаниями в пределах экспериментальной неопределённости порядка десяти процентов. Часы, которые идут более медленно в этом случае, являются ядерным устройством, которое производит фотоны с определёнными частотами; относительная разность в частотах часов на вершине и на дне есть (Δω/ω) = (ε/2) = разность гравитационного потенциала, делённая на 𝑐².

Такое предсказание сдвига частоты в действительности не требует приведённой техники нашей теории гравитации, так как это подразумевается в экспериментальных результатах Этвеша, что гравитационные силы (потенциалы) пропорциональны величине энергии. Таким образом, сдвиг частоты соответствует доли гравитационной энергии в энергии фотона. Согласно Этвешу, возбуждённое ядро тяжелее на величину (𝐸₀/𝑐²)𝑔, если 𝐸₀ - энергия возбуждения, поскольку, как мы знаем из ядерных экспериментов, его масса равна 𝑀+𝐸₀/𝑐², если 𝑀 - масса в положении, когда ядро находится на поверхности Земли. Если возбуждённое ядро поднимается на высоту ℎ, оно содержит энергии на величину 𝐸₀+(𝐸₀/𝑐²)𝑔ℎ+𝑀𝑔ℎ больше, чем невозбуждённое ядро, находящееся на нулевой высоте. Если мы возбуждаем ядро, находящееся в более низком положении, требуется только энергия 𝐸₀. После того, как более высоко расположенное ядро совершило переход, его полная энергия должна была бы превосходить полную энергию более низко расположенного ядра только на величину 𝑀𝑔ℎ. Так как частота фотона связана с энергией соотношением 𝐸=ℏω частота испущенного фотона есть ω=ω₀(1+𝑔ℎ/𝑐²). Таким образом, очевидно, что сдвиг частоты требуется из закона сохранения энергии. Если такого сдвига частоты не было бы в подобной ситуации, мы могли бы сконструировать вечный двигатель, используя такие ядерные переходы. Мы возбуждаем ядро на вершине башни фотонами с энергией 𝐸₀, но мы получаем механическую энергию (𝑀+𝐸₀/𝑐²)𝑔ℎ при опускании возбуждённого ядра. Так как поднятие невозбуждённого ядра требует затраты энергии только 𝑀𝑔ℎ, то мы получаем (𝐸₀/𝑐²)𝑔ℎ высвобождаемой энергии на каждом цикле! Тогда наша теория не является непротиворечивой, и это наводит на мысль, что сдвиг частоты, требуемый законом сохранения энергии, должен рассматриваться как общее свойство всех физических процессов, т.е. они протекают более медленно в областях с более низкими значениями гравитационного потенциала.

Здесь нет ничего похожего на ”парадокс близнецов” в специальной теории относительности. Человек на вершине горы живёт и стареет быстрее, чем мы, мы видим его движущимся быстрее. Когда он смотрит на нас, он видит нас, движущимися медленнее, чем он. Это не похоже на замедление времени при больших относительных скоростях, когда каждый наблюдатель видит другого движущимся медленнее. Однако не существует пути значительного увеличения нашего времени жизни, двигаясь в Долину Смерти, так как скорости изменения старения меняются очень мало. Тем не менее, мы должны были бы быть значительно более внимательными в будущем, говоря о возрасте объектов, таких как Земля, так как центр Земли должен бы быть на день или два моложе, чем её поверхность.

5.3. Космологические эффекты, связанные с замедлением времени. Принцип Маха

Ранее мы заметили, что вселенная могла бы быть приближённо описана как сферически симметричное распределение массы, и чтобы гравитационные потенциалы были бы возможно такой величины, что значения гравитационной энергии были бы равны энергии покоя частиц вблизи центра. Если бы это было так, и если наша формула для замедления времени была бы правильной, то физические процессы должны были бы остановиться в центре вселенной, так как время там не шло бы совсем. Это не только физически неприемлемое предсказание; так как мы могли бы ожидать, что вещество вблизи края вселенной должно было бы взаимодействовать быстрее, то свет от удалённых галактик должен был бы иметь фиолетовое смещение. На самом деле, хорошо известно, что он сдвинут в сторону более низких, более красных частот. Таким образом, наша формула для замедления времени очевидно нуждается в том, чтобы быть обсуждённой в дальнейшем в связи с анализом возможных моделей вселенной. Последующая дискуссия является чисто качественной и предназначена только для того, чтобы стимулировать более мудрые мысли по этому поводу.

Возможно, что поправки к нашей простой формуле могли бы придти от пространственных элементов тензора ℎ_μν. Мы рассмотрели только компонент ℎ₄₄ могло бы быть так, что если бы мы включили в рассмотрение ℎ₁₁ и ℎ₂₂ и ℎ₃₃, мы могли бы предсказать не просто замедление времени, но и некоторое одновременное сжатие вдоль пространственных осей, что позволило бы разрешить каким-либо образом обсуждаемые трудности. Другая возможность состоит в том, что 1, которая появляется в формуле для замедления времени, есть ошибка в рассуждении. Мы записали формулу, которая применяется только в том случае, когда разности потенциалов φ много меньше 1, так что константа 1 может каким-либо образом представлять нормализованный вклад в распределение массы удалённых скоплений. Другими словами, мы вывели, что гравитационные поправки к общей энергии частицы есть поправки к её инерции. Это предположение является концептуально простым обобщением того рассуждения, при котором предполагается, что возможно частицы не имеют собственной инерции, так что вся инерция представляет сумму гравитационных взаимодействий с остальной частью вселенной. Мы немедленно приходим к количественным трудностям. Предположим, что мы пытаемся сказать, что вблизи Солнца одиночная планета имеет полную потенциальную энергию, которая есть сумма потенциала Солнца и приближающегося к константе распределения, обусловленного влиянием оставшегося вещества