(𝑑𝑠)²

=

(𝑑𝑡)²

-

𝑅²(𝑡)

(1+𝑘𝑟/4)²

⎡

⎣

(𝑑𝑟)²

+

𝑟²

⎛

⎝

sin²θ

(𝑑φ)²

+

(𝑑θ)²

⎞

⎠

⎤

⎦

.

(12.2.3)

Давайте установим некоторые простые свойства этой метрики. Если мы находимся в одном и том же месте, то 𝑑𝑠=𝑑𝑡, вне зависимости от того, где мы находимся. Если мы смотрим на вселенную в заданный момент времени 𝑑𝑡=0, то трёхмерное пространство в заданный момент времени является сферически симметричным, но может иметь некоторую кривизну. Идея однообразия пространства требует эту сферическую симметрию, так как сферическая поверхность есть единственный вид поверхности, которая выглядит одинаково вне зависимости от того, где мы на ней находимся. Таким образом, мы записываем метрику, которая соответствует трёхмерной поверхности постоянной кривизны, которая являются изотропной при наблюдении её из любой точки. При 𝑘>0 метрика соответствует трёхмерной сфере, при 𝑘<0 мы имеем плоское пространство, при 𝑘=0 мы имеем отрицательную кривизну и неограниченную вселенную.

Давайте посмотрим, как мы могли бы описать трёхмерную поверхность, которая является сферической. Мы используем математику, аналогичную двумерной сферической поверхности, которая описывается двумя углами θ и φ поверхность находится на постоянном расстоянии 𝑏 от начала координат и углы определены, так что

𝑧

=

𝑏 cosθ,

𝑥

=

𝑏 sinθ cosφ,

𝑥²

+

𝑦²

+

𝑧²

=

𝑏²

𝑦

=

𝑏 sinθ sinφ.

(12.2.4)

В четырёхмерном пространстве всё, что мы делаем, состоит во введении третьего угла ξ, такого, что

𝑤

=

𝑎

cos ξ

,

𝑧

=

𝑎

sin ξ

cos θ

,

𝑥

=

𝑎

sin ξ

cos θ

cos φ

,

𝑦

=

𝑎

sin ξ

cos θ

cos φ

.

(12.2.5)

При использовании такого угла ξ метрика на трёхмерной поверхности 𝑑𝑡=0 пропорциональна квадрату радиуса и следующей величине

(𝑑ξ)²

+

sin²ξ

⎛

⎝

(𝑑θ)²

+

sin²θ

(𝑑φ)²

⎞

⎠

(12.2.6)

Для того, чтобы сделать переход к метрике (12.2.3) через радиальную координату, мы попросту вводим преобразование такое, что (𝑟²≠𝑥²+𝑦²+𝑧²),

𝑑𝑟

𝑟

=

𝑑ξ

sin ξ

,

(12.2.7)

которое приводит к выражению для cos ξ

cos ξ

=

⎡

⎢

⎣

1-𝑘𝑟/4

1+𝑘𝑟/4

⎤

⎥

⎦

.

(12.2.8)

Когда мы сравниваем выражения, мы находим, что метрика (12.2.3) правильно представляет трёхмерную поверхность, которая на самом деле является сферической. 𝑅(𝑡) является преобразующим множителем между координатными дифференциалами и длинами дуги, который меняется со временем; так что метрика в общем случае не является статической.

12.3. Интерпретация космологической метрики

Первый вопрос, который мы должны были бы исследовать, состоит в том, какова динамика объектов в такой метрике. Будут ли покоящиеся объекты оставаться в покое? Для таких объектов только 𝑢^𝑡 не равно нулю и уравнение движения сводится к следующему соотношению:

𝑑𝑢^α

𝑑𝑠

=-

Γ

α

𝑡𝑡

𝑢

^𝑡

𝑢

^𝑡

.

Так как

Γ

α

𝑡𝑡

=

0,

,

такая система координат может быть реализована набором массивных частиц.

Используя выражение метрики (12.2.3), мы должны были бы иметь возможность сделать некоторые предсказания относительно наблюдаемых величин на языке функции 𝑅(𝑡). Может быть тогда возможно будет построить модель вселенной, в которой точно определяется функция 𝑅(𝑡). Например, стационарная вселенная Хойла соответствует такой функции 𝑅(𝑡), которая экспоненциально зависит от времени. Вселенная Милна соответствует такой функции 𝑅(𝑡), которая попросту пропорциональна времени 𝑡.

Рис. 12.1.

Давайте кратко рассмотрим некоторые свойства вселенной Милна для того, чтобы только понять, что вселенная выглядит одинаково в соответствующие моменты времени с точки зрения наблюдателя, расположенного в различных местах пространства. Мы говорили, что такая модель соответствует нулевой гравитации. Например, возможно переопределить координаты таким образом, чтобы получившаяся в результате метрика была плоской. Тем не менее, когда мы переписали метрику, оказалось, что наша трёхмерная поверхность имеет кривизну. Мы можем понять источник этой кривизны, рассматривая множество часов с идентичными маятниками, которые расходятся с разными скоростями от заданного начала координат в заданный момент времени 𝑡=0. Если мы рассмотрим диаграмму Минковского, мировые линии различных часов представляют временные оси различных координатных систем. Таким образом, поверхности равных моментов времени искривляются (см. рис. 12.1). Трёхмерная поверхность ”при заданном времени” соответствует подобной гиперболической поверхности и, следовательно, имеет некоторую кривизну. Тем не менее, четырёхмерное пространство точно такое же плоское, как и было ранее.

Более близкая операционистская точка зрения на такую кривизну касается измерения радиуса и длины окружности. Если мы измеряем их в подпространстве ”сейчас”, то найдём, что длина окружности равна 2π𝑅. Измерения при постоянном значении 𝑡 соответствуют измерениям, проведённым так, как если бы локальная галактика, убегающая наружу со скоростью, пропорциональной расстоянию, находилась в покое. Таким образом, радиус измеряется стержнями, движущимися вдоль своей длины. Длина окружности измеряется стержнями, движущимися перпендикулярно своей длине, отсюда это наблюдение эффективной кривизны.

Теперь, когда мы прояснили значение трёхмерных поверхностей при постоянном значении 𝑡, давайте посмотрим, что мы можем вывести, что связано с астрономическими наблюдениями. Например, давайте выведем детектируемое изменение в видимой частоте сигнала, который испускается где-нибудь в другом месте, причём это изменение выразим через функцию 𝑅(𝑡). Мы должны спросить, какой интервал соответствует времени приёма, если мы точно определили время испускания сигнала и координату 𝑟. Траектория светового сигнала задаётся следующим соотношением (𝑑𝑠)²=0. Если свет движется вдоль радиуса, мы имеем

(𝑑𝑠)²

=

0

=

(𝑑𝑡)²

-

𝑅²(𝑡)

(1+𝑘𝑟²/4)²

(𝑑𝑟)²

,

из которого следует, что

𝑑𝑡

𝑅(𝑡)

=

𝑑𝑟

(1+𝑘𝑟²/4)

.

(12.3.1)

Если мы обсуждаем часы при постоянном значении координаты 𝑟, тогда 𝑑𝑡 есть интервал собственного времени; число тиканий часов есть попросту ∫𝑑𝑡. Для того, чтобы сравнить частоты, мы должны вычислить отношение продолжительности времени испускания сигнала ко времени его приёма. Если мы посылаем сигнал, причём начинаем посылать сигнал в момент времени 𝑡 и заканчиваем в момент времени 𝑡+Δ𝑡, то начало приёма сигнала соответствует времени 𝑡₀ и его приём заканчивается в момент времени 𝑡₀+Δ𝑡₀. Интегрируя вдоль световой траектории, определяемой соотношением (12.3.1), от начальной точки испускания до начальной точки приёма, получаем