𝑔'
μν,σ
=
𝑔
μν,σ
+
𝑔
μλ,σ
ζ
λ
,ν
+
𝑔
μλ,σ
ζ
λ
,μ
+
𝑔
μλ
ζ
λ
,νσ
+
+
𝑔
νλ
ζ
λ
,μσ
+
ζ
λ
𝑔
μν,λσ
+
ζ
λ
,σ
𝑔
μν,λ
,
(6.4.1)
но когда все операции сложения и вычитания, жонглирования индексами проведены, выполнена симметризация, мы находим
[μν,σ]'
=
[μν,σ]
+
[μλ,σ]
ζ
λ
,ν
+
[νλ,σ]
ζ
λ
,μ
+
+
[μν,λ]
ζ
λ
,σ
+
ζ
λ
[μν,σ]
,λ
-
𝑔
σλ
ζ
λ
,μν
,
(6.4.2)
где появляется только одна вторая производная ζλ,μν. Теперь мы должны избавиться от компонент метрического тензора с нижними индексами, умножая на обратную матрицу. Сначала введём новое обозначение, которое упростит преобразования. Мы положим
𝑔
τσ
[μν,σ]
=
Γ
τ
μν
.
(6.4.3)
Если мы умножаем соотношение (6.4.2) на 𝑔στ для того, чтобы отделить оставшуюся вторую производную, то соотношение принимает вид, где используются новые символы (называемые коэффициентами голономной связности или символами Кристоффеля)
Γ
τ
μν
'
=
Γ
τ
μν
+
Γ
τ
μλ
ζ
λ
,ν
+
Γ
τ
νλ
ζ
λ
,μ
-
Γ
λ
μν
ζ
τ
,λ
+
+
Γ
τ
μν,λ
ζ
λ
-
ζ
τ
,μν
.
(6.4.4)
Это соотношение автоматически симметрично по μν. Для того, чтобы продвинуться дальше в наших рассуждениях, продифференцируем ещё раз. Если мы дифференцируем это соотношение по новому индексу ρ и вычитаем соответствующее уравнение, имеющее переставленные индексы ρ и ν, то только следующие члены остаются не сокращёнными при этом вычитании
Γ
τ
μν,ρ
'
-
Γ
τ
μρ,ν
'
=
Γ
τ
μλ,ρ
ζ
λ
,ν
+
Γ
τ
νλ,ρ
ζ
λ
,μ
+
Γ
τ
μν,ρλ
ζ
λ
+
+
Γ
τ
ρλ
ζ
λ
,μν
-
Γ
λ
μν
ζ
τ
,λρ
-
- минус члены, где индексы ν и ρ переставлены.
(6.4.5)
Теперь трюк заключается в том, чтобы избавиться от двух вторых производных. Они умножаются на индексы Кристоффеля. Но в соотношении (6.4.4) мы имеем выражение, которое даёт как раз ζλ,μν. Мы будем использовать это выражение для того, чтобы заместить члены на те, которые стоят в соотношении (6.4.5). Это может быть выполнено путём вычисления произведения двух соотношений, таких как (6.4.4); мы видим, что индексы у символов Кристоффеля Γ одного члена такие же, как и индексы у ζ в другом члене; так что взяв произведения двух соотношений (6.4.4), одно из которых берётся со множеством индексов (τρλ), другое со множеством (λμν), переставляя (τ,μ,ν) и складывая с соотношением (6.4.5), вторые производные сокращаются.
Введём новую величину 𝑅τμνρ, определённую следующим образом
𝑅
τ
μνρ
=
Γ
τ
μν,ρ
+
Γ
τ
ρλ
Γ
λ
μν
-
Γ
τ
μρ,ν
-
Γ
τ
νλ
Γ
λ
μρ
.
(6.4.6)
Заметим, что этот тензор явно антисимметричен по индексам ρ и ν. Используя это обозначение, получаем наконец следующее соотношение
𝑅'
τ
μνρ
=
𝑅
τ
μνρ
+
ζ
λ
,ν
𝑅
τ
μλρ
+
ζ
λ
,ρ
𝑅
τ
μνλ
+
+
ζ
λ
,ν
𝑅
τ
λνρ
+
ζ
τ
,λ
𝑅
λ
μρν
+
ζ
λ
𝑅
τ
μνρ,λ
.
(6.4.7)
То, что мы должны теперь делать, это обращаться с этим уравнением так же, как мы обращались с уравнением (6.3.5), которое имеет ту же самую форму, исключая то, что тензор в последнем соотношении предпочтительнее включать тензор 𝑅τμνρ, а не 𝑔σν. Процедура, полностью аналогичная той, которая была рассмотрена ранее, приводит к ответу для инвариантной величины 𝐹:
𝐹
=-
1
2λ²
∫
𝑑τ
𝑔
μν
𝑅
τ
μνρ
√
-Det 𝑔
αβ
.
(6.4.8)
Эта величина, как мы увидим ниже, есть часть действия в теории, справедливой во всех порядках.
6.5. Уравнение Эйнштейна для тензора энергии-импульса
Функционал 𝐹, который был только что выведен, даёт результаты в венерианской теории гравитации, идентичные тем, которые были получены Эйнштейном. Если мы делаем разложение функционала, когда гравитационные поля слабы, мы получаем главные члены нашего разложения такие же, как 𝐹² и 𝐹³ в нашей более ранней теории. Мы можем сказать, следовательно, что наша венерианская точка зрения была успешна в достижении нашей цели построения самосогласованной теории гравитации посредством успешных логических шагов, предполагаемых по аналогии, но без видимого требования сверхчеловечески острой интуиции. Сам Эйнштейн, конечно, пришёл к тому же самому лагранжиану, но без помощи развитой теории поля, и я должен допустить, что у меня даже нет идеи, как он отгадал конечный результат. У нас было достаточно волнений при получении нашей окончательной теории, но я чувствую, что он создал свою теорию, плавая под водой, будучи с завязанными глазами и с руками, находящимися сзади! Тем не менее теперь, когда мы пришли к эквивалентной теории, мы откажемся от венерианской точки зрения и обсудим земную точку зрения согласно Эйнштейну.