𝑔
μν
𝑔
νσ
=
δ
μ
σ
,
(6.3.6)
где теперь
δ
μ
σ
- правильный символ Кронекера, который равен 1, если μ=σ, и нулю, если μ≠σ.
Обратная к матрице 𝐴'=𝐴+𝐵, если 𝐵 - инфинитезимальна, задаётся следующим выражением:
1
𝐴'
=
1
𝐴
-
1
𝐴
𝐵
1
𝐴
+
1
𝐴
𝐵
1
𝐴
𝐵
1
𝐴
- … .
(6.3.7)
Так как вектор ζλ инфинитезимален, мы можем легко построить тензор, обратный к тензору 𝑔'σν, согласно правилу, выраженному в соотношении (6.3.7)
𝑔'
αβ
=
𝑔
αβ
-
ζ
α
,ν
𝑔
νβ
-
ζ
β
,ν
𝑔
να
-
ζ
λ
𝑔
ασ
𝑔
βν
𝑔
σν,λ
+ … .
(6.3.8)
Теперь исследуем кратко один инвариант, который может быть легко найден, для того, чтобы понять используемые методы, а в следующем разделе построим более сложный инвариант, который приведёт нас к нашей полной теории.
Рассмотрим, как меняется определитель матрицы, если мы слегка меняем матрицу. Мы используем следующее выражение для определителя:
Det 𝐴
=
exp(Tr log 𝐴)
.
(6.3.9)
Мы не будем останавливаться здесь для обсуждения доказательства такого равенства;1 однако для того, чтобы показать, что оно выглядит разумным, мы могли бы заметить, что это утверждение становится тривиальным справедливым утверждением в случае, если матрица записала в диагональном виде:
Det 𝐴
=
𝐴₁₁
𝐴₂₂
𝐴₃₃
…
=
=
exp(
log 𝐴₁₁
+
log 𝐴₂₂
+…
)=
exp(Tr log 𝐴)
.
(6.3.10)
1 Это равенство является простым следствием из утверждения о существовании матричного логарифма невырожденной матрицы, которое доказано, например, в книгах [Гант 88*, Белл 76*]. (Прим. перев.)
Теперь мы применяем правило, выраженное соотношением (6.3.9), для вычисления определителя матрицы (𝐴+𝐵), где 𝐵 - инфинитезимальная матрица. Нам необходимо вычислить матричный логарифм матрицы 𝐴+𝐵; соответствующее разложение имеет вид
Det
⎡
⎢
⎣
𝐴
⎛
⎜
⎝
1
+
1
𝐴
𝐵
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
=
Det 𝐴⋅Det
⎛
⎜
⎝
1
+
1
𝐴
𝐵
⎞
⎟
⎠
=
=
Det 𝐴
exp
⎡
⎢
⎣
Tr
⎧
⎪
⎩
log
⎛
⎜
⎝
1
+
1
𝐴
𝐵
⎞
⎟
⎠
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
=
=
Det 𝐴
exp
⎛
⎜
⎝
Tr
1
𝐴
𝐵
⎞
⎟
⎠
.
(6.3.11)
Теперь мы используем это правило для того, чтобы вычислить определитель 𝑔'μν и взять логарифм результирующего выражения
log(-Det 𝑔')
=
log(-Det 𝑔)
+
2ζ
λ
,λ
+
ζ
λ
𝑔
σν,λ
𝑔
σν
.
(6.3.12)
Произведение матриц 𝑔 в последнем члене может быть связано с определителем следующим образом:
𝑔
σν,λ
𝑔
σν
=
[log(-Det 𝑔)]
,λ
(6.3.13)
Наше достижение состоит в том, что мы получили новое соотношение, в которое включены ξλ и его градиенты совместно с числами, но не матрицами. Мы положим 𝐶=log(-Det 𝑔) и перепишем получившееся в результате уравнение как
𝐶'
=
𝐶
+
2ζ
λ
,λ
+
𝐶
,λ
ζ
λ
.
(6.3.14)
Если бы это выражение было бы полной производной, мы могли бы проинтегрировать по всему пространству для того, чтобы получить наш инвариант. Вид последних двух членов наводит на мысль, что exp(𝐶/2) есть интегрирующий множитель. Следовательно, мы ищем инвариант вида exp(α𝐶'), регулируя соответствующим образом параметр α. Так как вектор ξλ - инфинитезимален, то разложение, в котором сохранены только первые члены, даёт
exp(α𝐶')
=
exp[α(
𝐶
+
2ζ
λ
,λ
+
𝐶
,λ
ζ
λ
)]
=
=
exp(α𝐶)
+
exp(α𝐶)
(
2αζ
λ
,λ
+
α𝐶
,λ
ζ
λ
).
(6.3.15)
Второй член этого выражения имеет вид, который может быть преобразован в полную производную; мы замечаем, что
⎛
⎝
exp(α𝐶)ζ
λ
⎞
⎠,λ
=
exp(α𝐶)
ζ
λ
,λ
+
α𝐶
,λ
ζ
λ
exp(α𝐶)
,
(6.3.16)
что есть такая же величина, как и второй член выражения для (6.3.15) при α=1/2. Когда мы интегрируем выражение (6.3.15) по всему пространству, то при α=1/2 интеграл от второго члена обращается в нуль, и мы приходим к равенству
∫
𝑑τ
exp(𝐶'/2)
=
∫
𝑑τ
exp(𝐶/2)
.
(6.3.17)
Инвариантное решение, выраженное через матрицу 𝑔μν, есть, следовательно,
o
𝐹
=
∫
𝑑τ
√
-Det 𝑔
.
(6.3.18)
6.4. Лагранжиан теории, справедливой во всех порядках
Инвариант o𝐹, полученный в предыдущем разделе, есть на самом деле решение дифференциального функционального уравнения (6.2.3), но это не есть то решение, которое необходимо для нашей теории, так как это решение не включает в себя производные. В данном разделе мы будем строить решение, необходимое для нашей теории, аналогичным методом. Успех этих манипуляций основан на нахождении точной дивергенции, которая может быть интегрирована по всему пространству.
Исходная точка наших рассуждений есть вновь уравнение (6.3.5), в которое включены вектор ζλ и его первые производные. Используемое нами правило есть следующее: мы надеемся найти комбинации 𝑔μν и их производные, причём эти комбинации не включают в себя ζ (или, по-крайней мере, полный дифференциал от этой величины), когда они преобразуются. Мы имеем в уравнении (6.3.5) первые производные ζ. Если мы вычисляем 𝑔'μν,σ, то появляются вторые производные, такие как ζλ,σν и т.п. Выглядит это так, как будто сложность даже увеличилась. Но если производная самого высокого порядка есть ζλ,σν и этот порядок появляется только в одном отдельном члене, мы можем исключить этот член путём вычитания члена с переставленными индексами. (На самом деле, в нашем случае мы не будем делать этого, выражение для ζλ,σν само по себе автоматически симметрично, но мы делаем аналогичную манипуляцию с более высокими производными.) Тогда сначала образуем выражение 𝑔'μν,σ, которое даёт вторые производные ζ вида ζλ,σν, но имеется две таких производных, ζλ,νσ и ζλ,μσ. Мы попытаемся преобразовать их, комбинируя с другими производными, такими как 𝑔'μσ,ν. Получается, что мы можем избавиться от двух членов, но появляется равное число новых членов, так что никакого упрощения не достигается. Но когда мы рассмотрим третье возможное упорядочение индексов 𝑔'νσ,μ, мы получаем путём сложений и вычитаний новое соотношение, в котором два члена могут добавляться, потому что они являются такими же. Одна трудность состоит в том, что так как мы вычисляем производные произведений, число членов стремительно растёт, например
