𝐹
=
𝐹²
+
𝐹³
+
𝐹⁴
+
… ,
(6.2.1)
который определяется из требования того, что результирующее уравнение есть уравнение движения
δ𝐹
δℎμν
=
λ𝑇
μν
,
(6.2.2)
которое автоматически имеет следствием условие на дивергенцию 𝑇μν (6.1.9). Функционал 𝐹 должен, следовательно, удовлетворять следующему дифференциальному функциональному уравнению:
𝑔
σλ
⎛
⎜
⎝
δ𝐹
δℎσν
⎞
⎟
⎠,ν
+
[μν,λ]
⎛
⎜
⎝
δ𝐹
δℎμν
⎞
⎟
⎠
=
0,
(6.2.3)
которое мы должны решить. Это в общем случае представляет чрезвычайно трудную задачу, и нет процедуры для получения решений таких уравнений. Мы должны будем положиться на нашу изобретательность в придумывании функционалов, которые есть решения в том смысле, что они удовлетворяют уравнению (6.2.2) при подстановке в него. Нет единственного общего решения этого уравнения, даже если мы добавим, что для малого значения ℎ мы будем выбирать такое решение, главные члены которого 𝐹² и 𝐹³ выводятся нами другими методами. Тем не менее, имеется очевидное ”наипростейшее” решение (включающее наименьшее число производных метрического тензора 𝑔μν - только две производных). Мы выбираем это решение. Когда этот выбор сделан, мы придём к теории, которая идентична эйнштейновской. С этого места мы откажемся от венерианской точки зрения и приступим к изучению теории гравитации с земной точки зрения, которая была изложена Эйнштейном.
6.3. Построение инвариантов по отношению к инфинитезимальным преобразованиям
Для того, чтобы решить задачу построения решений, удовлетворяющих уравнению (6.2.3), мы преобразуем это уравнение в некоторое эквивалентное утверждение о свойствах функционала 𝐹. Вначале заметим, что уравнение (6.2.3) есть векторное уравнение. Если мы возьмём скалярное произведение этого уравнения с произвольным вектором 𝐴λ(𝑥). и проинтегрируем по всему пространству, то мы получим уравнение, которое выглядит несколько иначе
∫
𝑑τ
⎡
⎢
⎣
𝐴
λ
(𝑥)
𝑔
σλ
(𝑥)
⎛
⎜
⎝
δ𝐹
δℎσν
⎞
⎟
⎠,ν
+
𝐴
λ
(𝑥)
[σν,λ]
⎛
⎜
⎝
δ𝐹
δℎσν
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
=
0.
(6.3.1)
Если функционал 𝐹 удовлетворяет уравнению (6.3.1) для произвольного вектора 𝐴λ, тогда этот функционал удовлетворяет уравнению (6.2.3). Теперь мы можем проинтегрировать по частям первый член в подынтегральном выражении, так что мы избавляемся от градиента по отношению к ν. Мы получаем, что
∫
𝑑τ
⎛
⎜
⎝
δ𝐹
δℎσν
⎞
⎟
⎠
⎡
⎢
⎣
-(
𝐴
λ
(𝑥)
𝑖
λσ
(𝑥)
)
,ν
+
[σν,λ]
𝐴
λ
(𝑥)
⎤
⎥
⎦
=
0.
(6.3.2)
Мы поместили черту под дифференциалом 𝑑τ для того, чтобы он напоминал нам, что мы должны взять усреднение этого интеграла, и в соответствующем интеграле, имеющем индексы σ и ν, происходит чередование индексов, а так как тензор ℎσν - симметричен, то имеющее смысл математическое тождество получается только в том случае, если скобка также симметрична по индексам σ и ν. Мы можем проинтерпретировать это уравнение (6.3.2) другим способом. Мы замечаем, что если мы делаем замену в первом порядке в тензоре ℎ, скажем, пусть ℎσν меняется на ℎσν+ξσν то величина функционала 𝐹 меняется следующим образом:
𝐹[ℎ
σν
+ξ
σν
]
=
𝐹[ℎ
σν
]
+
ξ
σν
δ𝐹
δℎσν
+
… .
(6.3.3)
Следовательно, наше уравнение (6.3.2) говорит нам, что для инфинитезимального ξσν и в форме, появляющейся в уравнении (6.3.2), величина 𝐹 остаётся неизменным.
Пусть тензорное поле ℎμν меняется инфинитезимальным преобразованием 𝐴λ на тензор ℎ'μν. Выражаем ℎ'μν согласно правилу, подразумеваемому в соотношении (6.3.2), как показано в следующем соотношении (мы должны помнить, что надо симметризовать выражение по индексам σν и использовать явное выражение для [σν,λ]):
ℎ'
σν
=
ℎ
σν
-
1
2
𝑔
σν,λ
𝐴
λ
-
𝑔λσ𝐴λ,ν
.
(6.3.4)
Положим для удобства -λ𝐴ν=ζν и запишем уравнение через 𝑔μν вместо ℎμν следующим образом:
𝑔'
σν
=
𝑔
σν
+
𝑔
σλ
ζ
λ
,ν
+
𝑔
νλ
ζ
λ
,σ
+
ζ
λ
𝑔
σν,λ
.
(6.3.5)
Тогда наша задача становится следующей: найти выражение для функционала 𝐹 от метрики 𝑔μν такое, что при инфинитезимальных преобразованиях, описываемых соотношениями (6.3.5), которые меняют тензор 𝑔μν на тензор 𝑔'μν, функционал 𝐹 не меняется в первом порядке малости по ζλ при любом ζλ(𝑥). Методы для решения уравнений, аналогичных исследуемому нами, были разработаны математиками1, работающими в дифференциальной геометрии (фактически очень близкая задача решается в дифференциальной геометрии), итак мы будем предполагать, как и хорошо образованные венерианские физики, что книги, дающие нам намёки на то, как приступить к решению, являются доступными.
1 См., например, книгу Веблена [Vebl 27].
Фактически, можно проверить, что преобразование, определяемое соотношением (6.3.5), есть преобразование тензорного поля при инфинитезимальном преобразовании координат 𝑥λ=𝑥'λ+ζλ. Однако, мы будем продолжать играть в нашу игру и попытаемся вывести наши результаты как венериане, не осознающие никакой геометрической интерпретации. Конечно, мы будем возвращаться назад и обсуждать геометрическую точку зрения при обсуждении точки зрения Эйнштейна.
Теперь приступим к нахождению желаемого инвариантного выражения для 𝐹. Для того, чтобы найти это выражение, полезно определить матрицу, которая обратна 𝑔μν, используя верхние индексы вместо нижних, что оказывается в данном случае предпочтительным, т.е.
