𝑔
σλ
(𝑥)
o
𝑇
σν
,ν
(𝑥)
=-
[μν,λ]
o
𝑇
μν
(𝑥)
.
(6.1.9)
Это точное уравнение, которому должен удовлетворять тензор o𝑇μν. В настоящем время мы используем его только в первом порядке малости по ℎ. Мы можем разделить тензор 𝑔σλ на два слагаемых ησλ+2λℎσλ и получить уравнение,1 которое говорит нам, что дивергенция o𝑇μν,ν начинается с линейного члена по константе связи λ:
o
𝑇
λν
,ν
=-
[μν,λ]
o
𝑇
μν
-
2λ
ℎ
σλ
o
𝑇
σν
,ν
,
(6.1.10)
1 При переводе мы не меняли не очень удачные обозначения Фейнмана, когда λ обозначает одновременно как индекс, так и множитель, т.е. две совершенно различные величины. (Прим. перев.)
так как знак ”скобка” включает в себя производные, которые делают нулевой порядок ημν тензора 𝑔μν не играющим никакой роли.
Когда мы сравниваем это соотношение с требованием, что новый тензор new𝑇μν≡n𝑇μν должен иметь нулевую дивергенцию,
n
𝑇
μν
,ν
=
o
𝑇
μν
,ν
+
χ
μν
,ν
,
(6.1.11)
и если мы предполагаем, что само выражение для χμν - билинейно по полям, мы видим, что дивергенция χμν,ν должна иметь следующее выражение:
χ
μν
,ν
=
[σν,μ]
o
𝑇
σν
+
𝒪(λ²)
… .
(6.1.12)
Знание дивергенции не определяет для нас χμν. У нас есть дополнительное требование, используя которое мы надеемся вывести χμν из вариации 𝐹³ по отношению к ℎμν, согласно соотношению (6.1.2). Если мы возьмём 𝐹³ как сумму по всем возможным независимым произведениям, включающим в себя всевозможные трилинейные произведения полевых компонент и два независимых индекса, по которым берутся производные, то эти два требования определяют величину 𝐹³ однозначно. Мы не будем проводить здесь определение 18 констант, но отметим, что это результат больших и трудоёмких алгебраических вычислений
𝐹³
=-
λ
⎡
⎢
⎣
ℎ
αβ
ℎ
γδ
ℎ
αβ,γδ
+
ℎ
γ
β
ℎ
γα
ℎ
αβ,δ
,δ
-
-
2ℎ
αβ
ℎ
βδ
ℎ
αγ
,γδ
+
2
ℎ
αβ
ℎ
σα
,σ
ℎ
τβ
,τ
+
+
⎛
⎜
⎝
1
2
ℎ
αβ
ℎ
αβ
+
1
4
ℎ
α
α
ℎ
β
β
⎞
⎟
⎠
ℎ
στ
,στ
⎤
⎥
⎦
.
(6.1.13)
Теперь для нас оказывается возможным, используя метод малых возмущений, вычислить все эффекты, которые рассматривались ранее. Для случая движения планет включение выражения для 𝐹³ в интеграл от лагранжиана приводит к следующим выражениям φ и ψ, которые должны быть использованы для вычислений орбит:
φ
=
Φ
+
1
2
Φ²
…
ψ
=
Φ
-
3
8
Φ²
…
Φ
=-
2𝑀𝐺/𝑟
.
(6.1.14)
Эти поправки приводят к полному согласию нашей теории с наблюдениями по прецессии перигелия Меркурия, так что последнее оставшееся расхождение между теорией и наблюдениями исчезает.
6.2. Формулировка теории, справедливой во всех порядках
Мы достаточно преуспели в нашей задаче, которую мы поставили перед собой в самом начале, построить полевую теорию гравитации по аналогии с другими хорошо известными полевыми теориями, которые бы адекватно описывали все известные характеристики феномена гравитации. Таким образом, наша воображаемая венерианская точка зрения оказалась плодотворной. Имеются некоторые слабые места в нашей теории; мы могли бы представить себе, что самые трудолюбивые венерианские теоретики могли бы не удовлетвориться теорией, в которой оставлены неопределёнными эффекты третьего порядка малости, и некоторые из них могли бы продолжить исследование функций 𝐹⁴ и 𝐹⁵ и т.д., которые должны быть добавлены к интегралу от лагранжиана для того, чтобы сделать теорию согласованной в более высоких порядках. Этот подход есть невероятно сложная процедура вычисления ненаблюдаемых поправок, и мы не будем соревноваться с нашими воображаемыми венерианами в этом отношении.
В физических теориях подчас возникает такая ситуация, что хотя поправки более высокого порядка в полном разложении удручающе скучно вычислять, возможно построить теорию, в которой суммируются все поправки более высокого порядка, для того, чтобы получить ответ, который является достижимым. Таким образом, представим себе честолюбивого и самоуверенного венерианина, который решил сделать попытку вывести полное разложение для функции 𝐹=𝐹²+𝐹³+𝐹⁴+𝐹⁵+… Мы будем искать функционал 𝐹 описывающий действие, которое должно быть провариировано, по следующим эмпирическим причинам: по-видимому, не существует достаточно удовлетворительной теории, которая не является выводимой с использованием вариационного принципа, первый этап применения которого заключается в выписывании функционала, связанного с лагранжианом или гамильтонианом (обе формулировки являются эквивалентными) .
В настоящее время нет определённости относительно того, отражают ли неуспехи нелагранжевых теорий некоторую фундаментальную истину о природе. Возможно, что фундаментальная истина может быть в том, что физические процессы происходят согласно принципу минимальной фазы и что действия в классической физике или квантовой физике есть выражения для этой фазы, которые верны в некотором приближении. Амбициозная попытка облечь гравитацию в нелагранжеву формулировку была сделана Бирхгоффом [Birk 43]. Он сохранил линейные уравнения для полей, но изменил уравнения движения для частиц. Полученная в результате классическая теория была совершенно удовлетворительна, но она не позволяла непротиворечивого квантования. Было показано, что волновое движение волновых пакетов не следует постулированным классическим уравнениям, но следует уравнениям Эйнштейна! Кажется вероятным, что эта попытка квантования открыла некоторую скрытую несогласованность в этих полевых уравнениях.
Следовательно, мы будем искать полный функционал 𝐹,
