используя которую, получаем следующее выражение
(𝑑𝑠)²
=
⎛
⎜
⎝ 1 -
𝑚
2𝑅
⎞²
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝ 1 +
𝑚
2𝑅
⎞
⎟
⎠
²
(𝑑𝑡)²
-
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑚
2𝑅
⎞⁴
⎟
⎠
(
(𝑑𝑥)²
+
(𝑑𝑦)²
+
(𝑑𝑧)²
).
(11.4.4)
Особенность в интервале собственного времени исчезла. Мы видим, что это было следствием особенности в определении радиальной координаты 𝑟. Тем не менее, метрика (11.4.4) выделяет частное значение радиуса 𝑅=𝑚/2 как положение, в котором обращается в нуль коэффициент при (𝑑𝑡)². Нам ещё следует исследовать, что происходит с физическими процессами в этой точке.
Эти результаты не нуждаются ни в каком непосредственном наблюдательном следствии. Когда мы подставляем величины, соответствующие массе Солнца, мы находим, что такой критический радиус существовал бы, если бы масса Солнца была сосредоточена внутри сферы, имеющей радиус, равный всего 1.5 км. Тем не менее, хотя очевидно эта ситуация не будет иметь место в Солнечной системе, разумно исследовать это критическое значение радиуса как свойство нашей теории.
Физическая интерпретация этого особого значения радиальной координаты связана со скоростью, на которой процессы, происходящие вблизи Солнца, проявлялись бы для удалённых наблюдателей. Ранее мы вычислили, как свет из областей с более низким гравитационным потенциалом сдвигается вниз по частоте, так что все объекты выглядят краснее. Радиус 𝑅=𝑚/2 соответствует потенциалу, который настолько низок, что свет не был бы достаточно энергичен для того, чтобы покинуть звезду, так что никакой свет не достиг бы наблюдателя, который находится на большом расстоянии от звезды.
Мы можем увидеть, происходит ли что-либо катастрофическое с геометрией пространства в этой точке, в точности вычисляя компоненты тензора кривизны. Получено, что эти компоненты равны
𝑅¹²₁₂
=
𝑅¹³₁₃
=-
𝑚/𝑟³
,
𝑅²³₂₃
=
2𝑚/𝑟³
,
𝑅⁴¹₄₁
=
2𝑚/𝑟³
,
𝑅⁴²₄₂
=
𝑅⁴³₄₃
=-
𝑚/𝑟³
.
(11.4.5)
Мы видим, что пространство в этой критической точке - гладкое. Такая ”особенность ” не может быть ничем иным как результатом частного способа выбора координат. В нашем примере с жуком, ползающим по поверхности сферы, была особенность в описании сферы при пересечении экватора. Но конечно, в физическом смысле (предполагается, что) пространство является в точности таким же гладким в окрестности этой особенности, как всюду на действительной сфере.
Результат, который мы только что получили, что кривизна пропорциональна 1/𝑟³, выглядит настолько просто, что мы можем попробовать поискать простой способ получения этого результата. У меня всегда было ощущение, что простой результат следовало бы получать простым способом. Следовательно, мы будем рассматривать геометрическую аргументацию, которая воспроизведёт зависимость 1/𝑟³ для рассматриваемого случал. Нам снова понадобится понятие средней кривизны в трёхмерном пространстве, определяемого путём рассмотрения четырёхмерного пространства для фиксированного момента времени. В этом подпространстве компоненты кривизны аналогичны компонентам давления. Для давлений (или угловых моментов) кривизна определяет нечто в плоскости, и мы можем пометить компоненты или парами индексов, которые определяют плоскость, или индексом оси, перпендикулярной плоскости. Таким образом, у нас есть следующее отождествление
𝑅¹²₁₂
→
𝑃³₃
,
𝑅¹³₁₃
→
𝑃²₂
(11.4.6)
и т.д. Далее мы покажем, что требование, что дивергенция таких ”давлений” обращается в нуль, эквивалентно тождеству Бианки;
𝑃³₃
;
₃
+
𝑃³₁
;
₁
+
𝑃³₂
;
₂
=
0,
(11.4.7)
которое означает, что в этом пространстве (о котором идёт речь), такое ”давление” приводит к нулевой результирующей силе. Верхние индексы соответствуют плоскости, в которой рассматриваются компоненты кривизны.
Рис. 11.1.
Когда мы имеем дело с давлениями, след тензора давления есть давление. В нашем случае след нашего давления есть средняя кривизна, которая в свою очередь есть плотность вещества. Мы получаем зависимость от 1/𝑟³, требуя в полярных координатах, чтобы физическое равновесие было бы в месте, где давление равно нулю. Мы должны быть внимательны в определении площадей поперёк направлений действия давлений, поскольку это должны быть физические площади, измеряемые вдоль геодезических. Мы определяем расстояние вдоль дуги при постоянном значении 𝑟 как θ₀𝑟 где θ₀ - небольшой угол. Измерение величины θ₀ хорошо определено, так как если мы обходим окружность один раз, то называем полный угол 2π Если радиальное давление обозначим буквой 𝑇, а давление в перпендикулярном направлении как 𝑆 (см. рис. 11.1), мы имеем для элемента объёма 𝑟²𝑑𝑟 θ(sin(θ) 𝑑φ), для которого θ₀=sin(θ)𝑑φ, что эти силы оказываются неуравновешенными, если не выполнены следующие условия
𝑑(
𝑇
𝑟²
θ
2
0
)
=
2𝑆
𝑟
θ
2
0
𝑑𝑟
.
Если для величины 𝑇 допускается зависимость только от 𝑟, мы получаем следующее дифференциальное уравнение, связывающее величины 𝑇 и 𝑅
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=
2𝑆
𝑟
-
2𝑇
𝑟
,
(11.4.8)
которое выполняется в общем случае. Теперь мы можем рассмотреть ситуацию в пустом пространстве, в котором след тензора равен нулю
След
=
𝑇
+
2𝑆
=
0,
𝑇
=-
2𝑆
.
(11.4.9)
Дифференциальное уравнение в этом случае имеет вид:
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=-
3𝑇
𝑟
,
(11.4.10)
отсюда получаем решение 𝑇=1/𝑟³.
Двигаясь таким путём, мы видим, почему выполнение тождества Бианки означает, что компоненты кривизны всюду пропорциональны 1/𝑟³. Связь функции exp(-λ) с величиной 𝑇 может быть получена с использованием аналогичных простых рассмотрений, которые приводят к заключению, что exp(-λ) отличается от 1 на множитель, обратно пропорциональный 𝑟³ (11.4.5).
11.5. Размышления о понятии кротовой норы
Рис. 11.2.
Рассуждения, приведённые в предыдущем разделе, показали нам, как сферически симметричное распределение массы в достаточно небольшом объёме приводит к возникновению компонентов тензора кривизны, пропорциональных всюду 𝑚/𝑟³. Двумерный аналог такой ситуации мог бы быть использован жуком, ползающим по поверхности, имеющей форму ”водоворота”. Давайте представим кривую, вращающуюся вокруг оси 𝑧, причём эта кривая пересекает ось 𝑥𝑦 под прямыми углами, как показано на рис. 11.2. Такая поверхность может представлять наше пространство при заданном моменте времени (𝑑𝑡=0) и при определённом значении азимутального угла, скажем φ=0. Если уравнение поверхности задаётся функцией 𝑧(𝑟), то длина дуги при постоянном значении θ задаётся следующим соотношением:
