Эта сумма есть в точности то, что мы должны называть средней кривизной трёхмерного пространства, которое перпендикулярно оси времени. Таким образом, мы можем дать словесную интерпретацию теории гравитации следующим образом: рассмотрим небольшую трёхмерную сферу с заданной площадью поверхности. Её действительный радиус превышает радиус, вычисляемый в евклидовой геометрии (√площадь/4π), на величину, которая пропорциональна количеству вещества внутри этой сферы (𝑟-√площадь/4π=𝐺/3𝑐²𝑚внутри) (один ферми на 4 миллиарда метрических тонн).
Эта интерпретация используется прямо для компонента 44, который есть плотность вещества (или энергии) для вещества внутри этой сферы. Другие компоненты тензора кривизны правильно выводятся, когда мы требуем, чтобы один и тот же результат получался в любой координатной системе независимо от её скорости.
11.3. Метрика Шварцшильда, поле вне сферической звезды
Выражения для компонентов тензора 𝐺μν через функции ν и λ являются следующими
𝐺⁴₄
=
1
𝑟
λ'𝑒
-λ
-
1
𝑟²
(𝑒
-λ
-1)
=
1
𝑟²
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎝
𝑟
(𝑒
-λ
-1)
⎞
⎠
,
𝐺¹₁
=-
1
𝑟
ν'𝑒
-λ
-
1
𝑟²
(𝑒
-λ
-1)
,
𝐺⁴₁
=
1
𝑟
λ̇𝑒
-ν
,
𝐺¹₄
=-
1
𝑟
λ̇𝑒
-λ
,
𝐺²₂
=
𝑒-λ
2𝑟
(λ'-ν')
-
𝑒-λ
4
(2ν''+(ν')²-λ'ν')
+
+
𝑒-ν
4
(λ̈+(λ̇)²-λ̇ν̇)
.
(11.3.1)
Только выражение для компонента 𝐺²₂ является громоздким, но так происходит, что его точное выражение редко бывает необходимо использовать. Важное положение состоит в том, что дивергенция этого тензора должна быть равна нулю. Если мы имеем выражение для других компонентов, то требование обращения в нуль дивергенции часто помогает избежать использования точного выражения для 𝐺²₂. В этом месте могут быть предложены следующие упражнения.
Доказать, что если нет материи внутри сферы радиуса 𝑏 и распределение материи вне этой сферы является сферически симметричным, то пространство внутри сферы - плоское с метрикой 𝑔μν=ημν.
Доказать, что если тензор энергии-импульса 𝑇μν известен всюду внутри сферы радиуса 𝑏, то каким бы он ни был вне этой сферы, это не повлияет на физику внутри сферы радиуса 𝑏. (Предполагается, что вне этой сферы тензор энергии-импульса характеризуется сферически симметричным распределением.)
Решение вне сферически симметричного распределения массы получается, если мы положим 𝑇μν=0=𝐺μν и решим получившиеся дифференциальные уравнения.
Мы начнём с того, что заметим, что 𝐺⁴₄ зависит только от λ. Так как 𝐺⁴₄ равен нулю, то мы получаем
𝑟(𝑒
-λ
-1)
=
constant
=
-2𝑚
.
(11.3.2)
Множитель 2 взят для удобства, так что постоянная величина 𝑚 есть полная масса звезды, умноженная на ньютоновскую гравитационную постоянную. Если внутри сферы радиуса 𝑎, где находится вся масса, нет особенностей, то постоянная должна быть равна
𝑎
∫
0
𝑑𝑟
𝑟²
𝐺⁴₄
=
2𝑚
.
(11.3.3)
Мы уверены, что зависимость от времени отсутствует, поскольку
𝐺¹₄
=
0
=-
1
𝑟
λ̇
𝑒
-λ
,
так что λ вообще не зависит от времени. Последняя задача состоит в том, чтобы получить выражение для ν. Мы делаем это, приравнивая 𝐺¹₁ и 𝐺⁴₄, так как обе эти величины равны нулю. Отсюда приходим к выводу, что
ν'
=-
λ'
,
(11.3.4)
которое может происходить только в том случае, если функция ν имеет следующий вид:
ν
=-
λ
+
ƒ(𝑡)
,
(11.3.5)
где ƒ(𝑡) - произвольная функция времени. Тем не менее, так как функция ν появляется в коэффициенте при величине (𝑑𝑡)² в метрике следующим образом:
𝑒
ν
(𝑑𝑡)²
=
𝑒
-λ
𝑒
ƒ(𝑡)
(𝑑𝑡)²
,
мы можем исключить множитель exp(ƒ(𝑡)), изменяя масштаб временной координаты. Другие элементы метрического тензора не изменяются при такой замене, так как в них включена только функция λ(𝑟). Полученный результат известен как метрика Шварцшильда
(𝑑𝑠)²
=
⎛
⎜
⎝
1
-
2𝑚
𝑟
⎞
⎟
⎠
(𝑑𝑡)²
-
(𝑑𝑟)²
1-2𝑚/𝑟
-
𝑟²
(
sin²θ(𝑑φ)²)
+
(𝑑θ)²
).
(11.3.6)
Интересно, что полученная метрика не зависит от времени, хотя мы никогда не говорили о том, что мы ищем статическое решение. Отсутствие зависимости от времени метрики Шварцшильда следует из предположения о сферической симметрии и того, что мы рассматриваем метрику в области с нулевой плотностью давления.
Для случая реальной звезды такой, как Солнце, точной сферической симметрии нет, поскольку имеется вращение и поскольку имеется утолщение (балдж) на экваторе. Тем не менее, эти отличия вызывают лишь небольшие отклонения от случая сферической симметрии. Если имеется световой поток от звезды, то будут появляться другие поправки, поскольку плотность энергии не будет равной нулю в пространстве вне звезды. Тем не менее, решение Шварцшильда достаточно точно описывает ситуацию с Солнцем, так что прецессия перигелия Меркурия задаётся правильно в пределах ошибок измерения.
11.4. Сингулярность Шварцшильда
Метрика, представленная в соотношении (11.3.6), имеет особенность при 𝑟=2𝑚. Для того, чтобы узнать, является ли эта особенность, причиняющей беспокойство и имеющей физический смысл, мы должны посмотреть, соответствует ли эта особенность физическому значению измеряемого радиуса от начала координат (что не есть то же самое, что наша координата 𝑟)
𝑅
=
ƒ(𝑟)
.
(11.4.1)
Мы получаем ответ, рассматривал эту метрику с использованием другого подхода. Мы могли бы предположить, что правильное описание сферически симметричной метрики должно было бы иметь следующий вид:
(𝑑𝑠)²
=
𝐻(𝑅)
(𝑑𝑡)²
-
𝐹(𝑅)
(
(𝑑𝑥)²
+
(𝑑𝑦)²
+
(𝑑𝑧)²
),
(11.4.2)
где 𝑅²=𝑥²+𝑦²+𝑧². Метрика Шварцшильда приводится к такому виду путём подстановки
𝑟
=
𝑅
+
𝑚²
4𝑅
+
𝑚
,
(11.4.3)
