-
𝐷
⎛
⎝
(𝑑θ)²
+
sin²θ
(𝑑φ)²
⎞
⎠
𝑟²
,
(11.1.1)
где символы 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, обозначают функции, которые могут зависеть от координат (𝑟,𝑡) но не от (θ,φ). Такое решение допускает динамические решения, в которых движение материи является чисто радиальным.
Можно уменьшить число неизвестных функций, сделав разумный выбор новых координат. Например, заменим масштаб координаты 𝑟 согласно следующему правилу:
𝑟'
=
√
𝐷(𝑟,𝑡)
𝑟
,
(11.1.2)
получившееся в результате выражение (𝑑𝑠)² через 𝑟' и 𝑑𝑟' вместо 𝑟 и 𝑑𝑟 имеет тот же самый вид, но новая функция 𝐷 есть в точности 𝐷=1. Таким образом, функция 𝐷 оказывается излишней, так как 𝐷=1 соответствует нашей задаче без потери общности.
Второе преобразование делается путём замены масштаба времени. Мы положим
𝑡'
=
𝑡'(𝑡,𝑟)
(11.1.3)
Используя это преобразование, мы вводим новую функцию, которая может быть выбрана так, что коэффициент при произведении 𝑑𝑟𝑑𝑡' равен нулю. Это означает, что если положить 𝐵=0, то потери общности не происходит.
Обычно с этого места, чтобы продвинуться в вычислениях, принято работать не с функциями 𝐴 и 𝐶, а с новыми функциями ν и λ, которые определяются следующим образом:
𝐴
=
𝑒
ν
,
𝐶
=
𝑒
λ
,
(11.1.4)
(в этих обозначениях мы следуем Шварцшильду). Метрический тензор является диагональным, и если мы выберем обозначения индексов (1,2,3,4) для координат (𝑟,θ,φ,𝑡), то компоненты метрического тензора являются следующими:
𝑔₄₄
=
𝑒
ν
,
𝑔₁₁
=-
𝑒
λ
,
𝑔₂₂
=-
𝑟²
,
𝑔₃₃
=-
𝑟²
sin²θ
.
(11.1.5)
Поскольку тензор является диагональным, элементы обратного тензора являются обратными элементами соответствующих компонентов более точно имеем следующие выражения:
𝑔⁴⁴
=
𝑒
-ν
,
𝑔¹¹
=-
𝑒
-λ
,
𝑔²²
=-
1
𝑟²
,
𝑔³³
=-
1
𝑟²sin²θ
.
(11.1.6)
Теперь может быть проведено вычисление элементов тензора кривизны. Эти вычисления напрямую приводят к цели, однако они скучны и утомительны, поскольку в символах Кристоффеля имеется достаточно много производных и должно быть вычислено довольно много сумм.
Когда всё это проделано, то компоненты тензора кривизны могут быть вычислены через функции ν и λ и их производные по отношению ко времени 𝑡 и радиальной координате 𝑟. Для того, чтобы запись была более экономной, мы используем штрихи и точки для обозначения производных следующим образом:
ν'
=
∂ν
∂𝑟
,
ν̇
=
∂ν
∂𝑡
,
и т.д.
(11.1.7)
Точные выражения для тензора Римана являются следующими:
𝑅⁴²₄₁
=-
𝑒
-λ
⎛
⎜
⎝
1
2
ν''
+
1
4
(ν)²
-
1
4
λ'ν'
⎞
⎟
⎠
+
𝑒
-ν
⎛
⎜
⎝
1
2
λ̈
+
1
4
(λ̇)²
-
1
4
λ̇ν̇
⎞
⎟
⎠
𝑅⁴²₄₂
=
𝑅⁴³₄₃
=-
1
2𝑟
ν'𝑒
-λ
𝑅²¹₂₁
=
𝑅³¹₃₁
=
1
2𝑟
λ'𝑒
-λ
𝑅³²₃₂
=-
1
𝑟²
⎛
⎝
𝑒
-λ
-
1
⎞
⎠
𝑅⁴²₁₂
=
𝑅⁴³₁₃
=-
1
2𝑟
λ̇𝑒
-ν
(11.1.8)
Все остальные компоненты равны нулю, за исключением тех, которые могут быть получены тривиальной перестановкой индексов некоторого элемента в соотношениях (11.1.8).
11.2. О связи между материей и кривизной
Именно тензоры, которые выводятся из тензора кривизны, связаны с тензором энергии-импульса. Комбинации, включающие в себя тензор кривизны и необходимые нам в дальнейшем, есть следующие
𝐺
μ
ν
=
𝑅
μ
ν
-
1
2
𝑔
μ
ν
𝑅
.
(11.2.1)
Компоненты тензора 𝐺μν имеют довольно простое выражения через суммы элементов 𝑅μνστ. Например, диагональные элементы есть
𝐺⁴₄
=
𝑅¹²₁₂
+
𝑅¹³₁₃
+
𝑅²³₂₃
,
𝐺¹₁
=
𝑅⁴²₄₂
+
𝑅⁴³₄₃
+
𝑅³²₃₂
.
(11.2.2)
Другими словами, каждый из этих компонентов включает в себя сумму по таким элементам 𝑅μνστ, в индексы которых не включён диагональный индекс. Для недиагональных элементов мы также получаем очень простые выражения. Например,
𝐺⁴₁
=
𝑅²⁴₁₂
+
𝑅³⁴₁₃
,
𝐺²₁
=
𝑅³²₁₃
+
𝑅⁴²₁₄
,
(11.2.3)
и по аналогии с этими компонентами мы можем легко записать соответствующие выражения для других компонентов.
Простота выражений рассмотренных сумм может навести нас на мысль об интерпретации кривизны через характеристики распределения вещества. Мы ранее обсудили кривизну двумерной поверхности через относительное изменение длины окружности или площади круга по отношению к их величинам в плоском пространстве через измеренную величину их радиуса:
Длина окружности
=
2π𝑟
(1-
𝐾×
площадь)
(11.2.4)
где 𝐾 - коэффициент. Для трёхмерного мира изменение длины окружностей зависит от плоскости, на которой рисуются круги, о которых идёт речь, но можно определить среднюю кривизну посредством измерения отличия от 4π𝑟² площади сферы радиуса 𝑟. Получаемый результат должен быть следующим
площадь
=
4π𝑟²
⎛
⎜
⎝
1
+
1
9
𝑟²𝑅
⎞
⎟
⎠
,
(11.2.5)
где 𝑅 - скаляр, получаемый двойной свёрткой тензора кривизны.
Связь этой идеи с теорией гравитации может быть получена, если мы попытаемся придать концептуальное значение сумме 𝑅¹²₁₂+𝑅²³₂₃+𝑅¹³₁₃, что есть компонент тензора 𝐺⁴₄, который равен компоненту 44 тензора энергии-импульса.
