(𝑑𝑠)²

=

(𝑑𝑟)²

+

⎛

⎜

⎝

∂𝑧

∂𝑟

⎞²

⎟

⎠

(𝑑𝑟)²

=

⎡

⎢

⎣

1

+

⎛

⎜

⎝

∂𝑧

∂𝑟

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

(𝑑𝑟)²

.

(11.5.1)

Мы можем положить множитель перед величиной (𝑑𝑟)² равным соответствующей величине в метрике Шварцшильда

1

+

⎛

⎜

⎝

∂𝑧

∂𝑟

⎞²

⎟

⎠

=

1

1-2𝑚/𝑟

(11.5.2)

и определить отсюда функцию 𝑧(𝑟) Можно легко получить ответ в этом случае

𝑧²(𝑟)

=

8𝑚

(𝑟-2𝑚)

.

(11.5.3)

Другими словами, пространство - параболическое, ”горловина” которого расположена на расстоянии 𝑟=2𝑚 от начала координат.

Существуют некоторые в высшей степени соблазнительные аспекты этого результата. В области 𝑟>2𝑚 пространство в точности такое, которое могло бы описываться как результат, вызываемый действием массы 𝑚, находящейся в начале координат (или более точно, масса распределена сферически симметрично в малой окрестности начала координат). Если мы приближаемся к началу координат, мы никогда не можем достичь расстояния 𝑟<2𝑚, но можем перейти к пространству, которое есть двойник тому пространству, в котором мы исходно находились. Это рассмотрение приводит к идее (разработанной, в частности, Уилером), что эффекты, которые мы называли "массовыми”, могут быть ничем иным, как особенностью топологии пространства, в котором мы находимся, и что нигде нет ”истинных” источников гравитации.

Любопытно было бы предположить, что все частицы с массой должны иметь такие горловины радиуса 2𝑚, ассоциированные с ними, и может оказаться так, что элементарные частицы есть ничто иное, как области пространства, через которые мы можем перейти в другое пространство, протискиваясь через дыру. Эти дыры названы Дж.А. Уилером ”кротовыми норами”. Если частицы заряжены, силовые линии электрического поля могут быть непрерывны вдоль этой поверхности, входя на одной стороне кротовой норы и выходя на другой стороне, так что существование двойного пространства может быть связано с существованием пар частица - античастица.

Пока оказалось невозможным получить согласованную качественную картину элементарных частиц, как такие кротовые норы. Вероятно, нет никакого возможного экспериментального наблюдения какого бы то ни было эффекта, обусловленного существованием кротовых нор. Мы не знаем никаких звёзд, которые достигали бы такой плотности массы, необходимой для того, чтобы критический радиус был близок к действительному радиусу. Если бы существовала звезда с радиусом меньшим, чем их критическое значение, мы не могли бы увидеть эту звезду, поскольку свет не может покинуть эту поверхность, так что до сих пор считается, что такие объекты могут существовать. Все известные элементарные частицы имеют известную структуру, много большую, чем диаметр, ассоциированной с этой частицей кротовой норы. Например, для нейтрона мы имеем 𝑟=2𝑚≈10⁻³³ см, примерно в 10²⁰ меньше, чем известный радиус нейтрона. Можно было бы взять частицу с массой 10⁻⁵ грамм, чтобы диаметр кротовой норы был бы той же величины, что и комптоновская длина волны ℎ/𝑚𝑐.

11.6. Проблемы теоретических исследований кротовых нор

Имеются различные вопросы, которые могут быть заданы, и эти вопросы образуют основу для теоретических исследований. Эти проблемы стоило бы исследовать, поскольку они имеют очень большое значение. Прежде всего, мы можем, используя наше нынешнее знание о поведении материи, спросить, возможно ли, чтобы достаточно большая масса оказывалась в достаточно малом объёме и коллапсировала в область, радиус которой меньше критического радиуса? Предположим, что в качестве начальной конфигурации имелась пыль, распределённая практически однородно по достаточно большой области пространства. В этой конфигурации начался бы гравитационный коллапс, вещество стало бы нагреваться, начались бы сначала химические, а затем ядерные реакции. Когда масса оказывается в достаточно большой степени сжата, то имелась бы точка, в которой электроны производили бы гигантское давление, препятствующее сжатию, так как они не могут быть сжаты вместе ближе, чем это допустимо принципом запрета (принципом Паули). Но для достаточно больших масс гравитационное притяжение является достаточно сильным для того, чтобы выдавить электроны и позволить нуклонам сохранять сжатие.

Детально процесс такого сжатия всё ещё не исследован теоретически. Мне кажется, что перед тем, как мы что-либо узнаем о наших кротовых норах, нам необходимо решить задачи классической теории гравитации, в которых анализируется поведение очень больших масс. Если коллапс некоторого объекта внутрь сферы с радиусом меньшим, чем критическое значение, возможен, то мы никогда не увидим, находясь вне этой сферы, этот объект, поскольку свет (предполагаем, что он излучает в оптическом диапазоне) становится всё краснее и краснее, затем становится инфракрасным, затем излучаемым в радиодиапазоне, и наконец, обнаруживается только по непосредственной связи с ним (по его гравитационному полю). Существует физический смысл в вопросе о том, каким он будет, став частью коллапсирующей массы.

Давайте посмотрим, как мы могли бы взяться за описание физических процессов, происходящих в относительной системе отсчёта, движущейся с падающей материей. Уравнение состояния включало бы в себя давление 𝑝 и плотность вещества ρ. В статическом случае мы бы имели

𝑇¹₁

=

𝑇²₂

=

𝑇³₃

=

-𝑝

,

𝑇⁴₄

=

ρ.

(11.6.1)

Как выглядит этот тензор для движущегося элемента материи? Используя величины

𝑢

=

𝑣

√1-𝑣²/𝑐²

,

𝑤

=

1

√1-𝑣²/𝑐²

,

ρ₀

=

ρ

+

𝑝,

(11.6.2)

мы находим, что

𝑇⁴₄

=

ρ₀

𝑤²

+

𝑝,

𝑇¹₁

=-

ρ₀

𝑢²

+

𝑝,

𝑇²₂

=

𝑇³₃

=-

𝑝,

𝑇⁴₁

=-

ρ₀

𝑢𝑤

.

(11.6.3)

Для того, чтобы решить задачу о сжатии пылевого облака, мы можем действовать следующим образом. Сначала мы предполагаем, что ситуация описывается функциями λ и ν, зависящими от радиальной координаты и времени. Мы предполагаем, что состояние материи описывается плотностью вещества ρ и давлением 𝑝. Нам необходимо также уравнение состояния, связывающее 𝑝 и ρ;

𝑝

=

ƒ(ρ)

.

(11.6.4)

В качестве первой попытки мы можем посмотреть, что происходит, если давление 𝑝 и плотность ρ связаны адиабатическим законом. Позднее мы можем посмотреть, что происходит, если мы предполагаем охлаждение, как следствие светового излучения, нагрев ядерными реакциями и т.д. В результате мы хотим получить функцию, описывающую радиальную скорость элемента вещества - 𝑢(𝑟,𝑡)

Задача, в которую мы включили рассмотрение тепловых потоков и непрозрачности, и много другой всякой всячины, не должна быть слишком переусложнённой, так что ответ должен быть получаем как решение системы уравнений с частными производными. Надежда в том, что эта система будет согласованной и соответствующие зависимости могут быть распутаны, так что уравнения могли бы быть решены в соответствии с некоторой процедурой. Было бы слишком хорошо надеяться на то, что решения могут быть получены в замкнутом виде. Тем не менее, если дифференциальные уравнения распутываются, мы могли бы надеяться, что компьютеры могли бы обеспечить нас численными решениями этой системы дифференциальных уравнений.