Проблема природы составных частей материи приводит нас к аналогичному заключению. Индивидуальность элементарных электрических частиц следует из общих эмпирических данных. Тем не менее недавно полученные экспериментальные данные и прежде всего открытие селективного отражения электронов от металлических кристаллов требуют привлечения принципа суперпозиции волновой теории в соответствии с оригинальной идеей Л. де Бройля. Так же как в случае света, в вопросе о природе материи, придерживаясь классических понятий, мы стоим перед неизбежной дилеммой, которая должна рассматриваться как точное выражение эмпирических данных. Действительно, здесь мы имеем дело не с противоречащими, а с дополнительными толкованиями явлений, которые лишь вместе дают естественное обобщение классического способа описания. При рассмотрении этих вопросов надо иметь в виду, что в соответствии с изложенным выше излучение в пустом пространстве, как и изолированные материальные частицы, представляют собой абстракции, поскольку их свойства, согласно квантовой теории, доступны наблюдению и определению только при их взаимодействии с другими системами. Тем не менее эти абстракции, как мы увидим, необходимы для описания данных опыта на основе наших обычных пространственно-временны́х представлений.
Трудности, с которыми сталкивается причинное пространственно-временно́е описание в квантовой теории и которые давно составляют предмет повторяющихся дискуссий, новейшим развитием символических методов выдвинуты в последнее время на первый план. Важным вкладом в проблему последовательного применения этих методов является новая работа Гейзенберга 2. Он указал, в частности, на своеобразную взаимную неопределённость, присущую всем измерениям атомных величин. Прежде чем перейти к рассмотрению его результатов, целесообразно показать, как дополнительная природа описания, проявляющаяся в этой неопределённости, является неизбежной уже при анализе наиболее элементарных понятий, лежащих в основе истолкования опыта.
2 W. Неisеnbеrg. Zs. f. Phys., 1927, 43, 172,
§ 2. Квант действия и кинематика
Фундаментальное противоречие между квантом действия и классическими понятиями сразу становится очевидным из простых формул, составляющих общую основу теории световых квантов и волновой теории материальных частиц. Если обозначить через ℎ постоянную Планка, то, как известно,
𝐸τ
=
𝐽λ
=
ℎ
,
(1)
где 𝐸 и 𝐽 — соответственно энергия и импульс, τ и λ — соответственно период колебания и длина волны. В этих формулах два упомянутых выше представления о свете, как и о материи, резко противостоят одно другому. В то время как энергия и импульс ассоциируются с понятием частицы и, следовательно, по классическим представлениям могут характеризоваться определёнными пространственно-временны́ми координатами, период колебаний и длина волны относятся к неограниченному в пространстве и времени цугу плоских гармонических волн. Только с помощью принципа суперпозиции можно установить связь с обычным способом описания. В самом деле, ограничение протяженности волновых полей в пространстве и времени всегда может рассматриваться как следствие интерференции группы элементарных гармонических волн. Де Бройль 3 показал, что переносная скорость объектов 3a, которым сопоставляются волны, может быть представлена как раз с помощью так называемой групповой скорости волн. Пусть элементарная плоская волна имеет вид
3 L. de Вrоglie. Thèse. Paris, 1924.
3a Точнее: индивидуальных объектов (в оригинале — individual). — Прим ред.
𝐴 cos 2π
(𝑡ν
-𝑥σ
𝑥
-𝑦σ
𝑦
-𝑧σ
𝑧
+δ)
.
Здесь 𝐴 и δ — постоянные, определяющие соответственно амплитуду и фазу; величина ν=1/τ — частота колебаний, σ𝑥, σ𝑦, σ𝑧 — волновые числа в направлении соответствующих осей координат (их можно рассматривать как векторные компоненты волнового числа σ=1/λ в направлении распространения); ν/σ — волновая, или фазовая, скорость; групповая же скорость определяется как 𝑑ν/𝑑σ. Согласно теории относительности, для частицы со скоростью 𝑣 имеем
𝐸
=
𝑣
𝑐²
𝐽
и
𝑣𝑑𝐸
=
𝑑𝐽
,
где 𝑐 — скорость света. Следовательно, из соотношения (1) фазовая скорость равна 𝑐²/𝑣, а групповая скорость равна 𝑣. То обстоятельство, что, вообще говоря, фазовая скорость больше скорости света с, указывает сразу на символический характер этих рассуждений. В то же время возможность отождествления скорости частицы с групповой скоростью указывает на область применимости пространственно-временны́х представлений в квантовой теории. Здесь проявляется дополнительный характер описания, поскольку применение групп волн с необходимостью связано с отсутствием строгости в определении периода и длины волны, а следовательно, согласно соотношениям (1), и соответствующих величин энергии и импульса. Ограниченное волновое поле может быть представлено, строго говоря, только суперпозицией множества элементарных волн, соответствующих всевозможным значениям ν и σ𝑥, σ𝑦, σ𝑧. Средняя разность этих значений для двух элементарных волн группы по порядку величины даётся в наиболее благоприятном случае условиями
Δ
𝑡
Δ
ν
=
Δ
𝑥
Δ
σ
𝑥
=
Δ
𝑦
Δ
σ
𝑦
=
Δ
𝑧
Δ
σ
𝑧
=1,
где Δ𝑡, Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝑧 означают протяженность волнового поля во времени и в направлениях пространства, соответствующих координатным осям. Эти соотношения, известные из теории оптических инструментов, в особенности из исследований Рэлея разрешающей способности спектральных приборов, выражают условие, что цуги волн могут гаситься вследствие интерференции на пространственно-временны́х границах волнового поля. Эти соотношения могут рассматриваться так же как отсутствие фазы у группы в целом, в том же смысле, что и у элементарных волн.
Таким образом, из соотношений (1) находим
Δ
𝑡
Δ
𝐸
=
Δ
𝑥
Δ
𝐽
𝑥
=
Δ
𝑦
Δ
𝐽
𝑦
=
Δ
𝑧
Δ
𝐽
𝑧
=ℎ;
(2)
эти соотношения дают максимально возможную точность определения энергии и импульса объекта, сопоставленного волновому полю. В общем случае условия приписания некоторых значений энергии и импульса волновому полю с помощью соотношений (1) будут гораздо менее благоприятными. Даже если структура группы волн соответствует вначале соотношениям (2), то с течением времени она будет испытывать такие изменения, что становится всё менее пригодной для представления объекта. Именно в этом обстоятельстве и лежит парадоксальность вопроса о природе света и материальных частиц. Ограниченность классических понятий, выражаемая соотношениями (2), кроме того, тесно связана с ограниченной применимостью классической механики, соответствующей в волновой теории материи геометрической оптике, в которой распространение волн изображается «лучами». Только в предельном случае таких «лучей» можно однозначно определить энергию и импульс на основе пространственно-временны́х представлений. Для общего определения этих понятий мы должны придерживаться непосредственно законов сохранения, рациональная формулировка которых составляет основную проблему символических методов, к которой мы обратимся ниже.
