На релятивистском языке содержание соотношений (2) можно формулировать в утверждении, что согласно квантовой теории существует общая взаимная связь между максимальной точностью определения пространственно-временны́х векторов и соответственно векторов энергии-импульса, связанных с объектом. Это обстоятельство может рассматриваться как простое символическое выражение взаимно дополняющей природы пространственно-временно́го описания и требований причинности. Однако в то же самое время общий характер этой связи позволяет до некоторой степени примирить законы сохранения с пространственно-временны́м представлением наблюдений; представление о совпадении точно определённых событий в некоторой точке пространства-времени заменяется представлением о неточно определённых объектах в пределах конечных пространственно-временны́х областей.

Это обстоятельство позволяет избежать известных парадоксов, с которыми мы сталкиваемся при попытке описания рассеяния излучения свободными электрическими частицами и столкновения двух таких частиц. Описание рассеяния с помощью классических понятий требует конечной протяженности излучения в пространстве и времени, в то время как в изменении движения электрона, требуемом квантовым постулатом, очевидно, речь идёт о мгновенном действии, происходящем в определённой точке пространства. Но как и в случае излучения, для электрона невозможно определить его энергию и импульс, не рассматривая конечной пространственно-временно́й области. Больше того, применение законов сохранения к данному процессу предполагает, что точность определения вектора энергии-импульса одна и та же как для излучения, так и для электрона. Следовательно, согласно соотношениям (2), обоим объектам при взаимодействии может быть приписана пространственно-временна́я область одних и тех же размеров.

Аналогичное замечание справедливо и для столкновения двух материальных частиц, хотя на значение квантового постулата для этого явления не обращалось внимания, пока не была понята необходимость волнового представления. Здесь этот постулат действительно представляет идею индивидуальности частиц, которая, отвечая требованию причинности, выходит за пределы пространственно-временно́го описания. В то время как физическое содержание идеи световых квантов целиком связано с законами сохранения энергии и импульса, в случае электрических частиц должно учитываться в этой связи и сохранение электрического заряда. Едва ли нужно напоминать, что для более детального описания взаимодействия между объектами мы не можем ограничиться только фактами, выраженными в формулах (1) и (2); мы должны прибегнуть к процедуре, которая позволит нам учесть связь объектов, характеризующую рассматриваемое взаимодействие, в которой и проявляется роль электрического заряда. Как мы увидим ниже, такая процедура требует дальнейшего отказа от наглядности в обычном смысле.

§ 3. Измерения в теории квантов

В упомянутом исследовании непротиворечивости квантовых методов Гейзенберг установил соотношения (2) как выражение максимально возможной точности, с которой пространственно-временны́е координаты и компоненты вектора энергии-импульса для некоторой частицы могут быть измерены одновременно. Его взгляды основываются на следующем соображении. С одной стороны, координаты частицы могут быть измерены с любой желаемой степенью точности, используя, например, какой-нибудь оптический инструмент, при условии, что для освещения используется излучение с достаточно короткой длиной волны. Однако, согласно квантовой теории, рассеяние излучения данным объектом всегда связано с конечным изменением импульса, которое тем больше, чем короче длина волны. С другой стороны, импульс частицы может быть измерен с любой желаемой точностью, например по эффекту Допплера для рассеянного излучения, если только применяемая длина волны настолько велика, что можно пренебречь эффектом отдачи; но тогда определение пространственных координат частицы становится соответственно менее точным.

Суть этого рассмотрения состоит в неизбежности квантового постулата при оценке возможностей измерения. Необходимо более детальное исследование этих возможностей определения, чтобы выявить общий дополнительный характер описания. В самом деле, прерывное изменение энергии и импульса во время измерения не могло бы само по себе служить препятствием, чтобы приписать точные значения пространственно-временны́м координатам и компонентам вектора энергии-импульса до и после процесса. Взаимная неопределённость, всегда присущая значениям этих величин, является по существу, как следует из предшествующего анализа, результатом ограниченной точности, с которой могут быть определены изменения энергии и импульса, когда волновые поля, применяемые для определения пространственно-временны́х координат частицы, достаточно ограничены.

При определении положения с помощью оптических инструментов нужно помнить, что для образования изображения всегда требуется сходящийся пучок света. Обозначая через λ длину волны используемого излучения и через ε — так называемую числовую апертуру, т. е. синус половины угла сходимости, разрешающую способность микроскопа можно представить известным выражением λ/2ε. Даже если предмет освещается параллельным пучком света, так что импульс ℎ/λ падающего кванта известен по величине и направлению, конечное значение апертуры всё же будет мешать точному установлению отдачи, сопровождающей рассеяние. Даже если бы импульс частицы был точно известен до процесса рассеяния, сведения о компоненте импульса, параллельной фокальной плоскости, после наблюдения имели бы неопределённость, составляющую 2 εℎ/λ. Произведение наименьших неточностей, с которыми могут быть установлены пространственная координата и компонента импульса в определённом направлении, поэтому выражается как раз формулой (2). Вероятно, можно думать, что в оценке точности определения положения должна учитываться не только сходимость лучей, но и длина цуга волн, так как частица в течение конечного времени освещения может изменить свое положение. Однако ввиду того факта, что точное знание длины волны света не существенно для указанной выше оценки, легко видеть, что для любого значения апертуры цуг волн может быть выбран настолько коротким, чтобы можно было пренебречь изменением положения частицы за время наблюдения по сравнению с пределами точности определения положения, обусловленными конечной разрешающей способностью микроскопа.

При измерении импульса с помощью эффекта Допплера (с учётом эффекта Комптона) приходится пользоваться параллельным цугом волн. Однако для точности, с которой может быть измерено изменение длины волны рассеянного излучения, существенна протяженность цуга волн в направлении распространения. Если мы полагаем, что направления падающего и рассеянного излучений будут соответственно параллельны или противоположны направлению подлежащих измерению вектора положения и компонент импульса, то мерой точности определения скорости может считаться выражение 𝑐λ/2𝑙 где 𝑙 — длина цуга волн; при этом для простоты скорость света принята здесь большой по сравнению со скоростью частицы. Если 𝑚 — масса частицы, то неопределённость, связанная со значением импульса после наблюдения, равна 𝑐𝑚λ/2𝑙. В этом случае величина отдачи 2ℎ/λ достаточно хорошо определена и не приводит к заметной неопределённости в значении импульса частицы после наблюдения. В самом деле, общая теория эффекта Комптона позволяет рассчитать компоненты импульса в направлении излучения до и после отдачи по разности длин волн падающего и рассеянного излучений. Даже если бы начальные значения пространственных координат частицы были точно известны, наше знание положения после наблюдения будет содержать неопределённость. Действительно, вследствие невозможности приписать отдаче точный момент времени, мы знаем среднюю скорость в направлении наблюдения в течение процесса рассеяния только с точностью 2ℎ/𝑚λ Следовательно, неопределённость положения после наблюдения достигает 2ℎ𝑙/𝑚λ. И здесь произведение неточностей в измерении положения и импульса выражается, таким образом, общей формулой (2).