𝑖ℎ

2π , [𝑞₁𝑞₂] = [𝑝₁𝑝₂] = [𝑞₁𝑝₂] = [𝑞₂𝑝₁] = 0,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

двумя парами новых канонически сопряженных переменных (𝑄₁𝑃₁) (𝑄₂𝑃₂) связанных с первоначальными простым ортогональным преобразованием, соответствующим вращению на угол θ в плоскостях (𝑞₁𝑞₂) и (𝑝₁𝑝₂), а именно 𝑞₁ = 𝑄₁cos θ - 𝑄₂sin θ ,  𝑝₁ = 𝑃₁cos θ - 𝑃₂sin θ , 𝑞₂ = 𝑄₁cos θ + 𝑄₂cos θ ,  𝑝₂ = 𝑃₁sin θ + 𝑃₂cos θ .

⎫

⎬

⎭

Ввиду того что эти переменные удовлетворяют аналогичным перестановочным соотношениям, в частности [𝑄₁𝑃₁] =

𝑖ℎ

2π ,  [𝑄₁𝑃₂] =0,

очевидно, что при описании состояния составной системы нельзя приписывать определённых значений величинам 𝑄₁ и 𝑃₁ но что их можно приписывать величинам 𝑄₁ и 𝑃₂. В этом случае из выражений для этих переменных через (𝑞₁𝑝₁) и (𝑞₂𝑝₂), и именно из 𝑄₁ = 𝑞₁ cos θ + 𝑞₂ cos θ ,  𝑃₂ = -𝑝₁ sin θ + 𝑝₂ cos θ ,

вытекает, далее, что последующее измерение одной из величин 𝑞₂ или 𝑝₂ позволит нам предсказать наперёд значение 𝑞₁ или соответственно 𝑝₁.

Начнём с простого случая частицы, проходящей через щель диафрагмы, которая может составлять часть более или менее сложной экспериментальной установки. Даже если бы количество движения этой частицы до её падения на диафрагму было вполне известно, дифракция плоской волны (дающей символическое представление состояния частицы) от краёв щели повлечёт за собой неопределённость в количестве движения частицы после её прохождения через диафрагму, причём эта неопределённость будет тем больше, чем у́же щель. Но ширину щели (по крайней мере, если она всё ещё велика по сравнению с длиной волны) можно принять за меру неопределённости Δ𝑞 в положении частицы относительно диафрагмы в направлении, перпендикулярном к щели. Далее из де-бройлевского соотношения между количеством движения и длиной волны легко усмотреть, что неопределённость Δ𝑝 в количестве движения частицы в этом направлении связана с Δ𝑞 соотношением Гейзенберга

Δ𝑝

Δ

𝑞

∼

ℎ

,

которое, как можно показать, пользуясь математическим аппаратом квантовой механики, является непосредственным следствием перестановочных соотношений для любой пары канонически сопряженных переменных. Очевидно, что неопределённость Δ𝑝 неразрывно связана с обменом количеством движения между частицей и диафрагмой. Для наших рассуждений фундаментальную важность приобретает в связи с этим вопрос о том, в какой мере может быть учтено переданное таким образом количество движения, в какой мере оно может быть принято во внимание при описании того явления, которое мы изучаем при помощи данной постановки опыта, первым этапом которого можно считать прохождение частицы через диафрагму.

Соответственно обычной постановке опытов над замечательным явлением дифракции электронов предположим сперва, что наша диафрагма, так же как и другие части прибора, например вторая диафрагма с несколькими щелями, параллельными первой, и фотографическая пластинка, жёстко связаны с подставкой, которая и определяет пространственную систему отсчёта. Тогда количество движения, передаваемое частицей диафрагме, а также и другим частям прибора, будет уходить в их общую подставку. Таким образом, в этом случае мы сознательно отказываемся от всякой возможности учитывать реакцию частицы на отдельные части прибора и принимать эти реакции в расчёт в наших предсказаниях, относящихся к окончательному результату опыта, например к положению того пятна, которое частица производит на фотографической пластинке. Невозможность более подробного анализа взаимодействий, происходящих между частицей и измерительным прибором, не является, очевидно, особенностью именно данной постановки опыта, но представляет существенное свойство всякой постановки, пригодной для изучения явлений рассматриваемого типа, в которых мы сталкиваемся с своеобразной чертой индивидуальности, совершенно чуждой классической физике. В самом деле, если бы у нас была какая-нибудь возможность учитывать количество движения, передаваемое частицей отдельным частям прибора, то это сразу позволило бы нам выводить заключения, относящиеся к «ходу» такого рода явлений. Например, мы могли бы тогда указать, через какую именно щель во второй диафрагме прошла частица на своем пути к фотографической пластинке, — а это никак нельзя согласовать с тем фактом, что вероятность попадания частицы на данный участок поверхности пластинки определяется не наличием той или иной щели в отдельности, а расположением всех щелей во второй диафрагме, которых может достигнуть сопоставляемая частице волна, претерпевшая дифракцию от щели в первой диафрагме.

Но мы могли бы воспользоваться другой экспериментальной установкой, в которой первая диафрагма уже не будет жёстко связана с остальными частями прибора. В такой установке мы имели бы по крайней мере принципиальную ¹ возможность измерить с любой желаемой точностью количество движения диафрагмы до и после прохождения частицы, а значит, и указать наперёд количество движения последней после её прохождения через щель. В самом деле, такого рода измерения предполагают только возможность однозначного применения классического закона сохранения количества движения, причём применять его нужно, например, к процессу столкновения между диафрагмой и каким-нибудь пробным телом, количество движения которого надлежащим образом контролируется до и после столкновения. Правда, такого рода контроль будет существенно зависеть от изучения хода в пространстве и времени такого процесса, к которому были бы применены представления классической механики; однако если все пространственные размеры и промежутки времени взяты достаточно большими, то это, очевидно, не связано ни с какими ограничениями точности в определении количества движения пробных тел, а связано только с отказом от точного контроля их локализации в пространстве и времени. Последнее обстоятельство представляет полную аналогию с тем отказом от учёта количества движения закреплённой диафрагмы, с которой мы встретились выше при обсуждении первоначальной установки. Такого рода отказ обусловлен в конце концов требованием чисто классического описания измерительного прибора; это требование влечёт за собой необходимость ввести в описание действия прибора известные допуски, соответствующие соотношениям неопределённости квантовой механики.

1 Очевидная невозможность на самом деле осуществить с имеющейся экспериментальной техникой измерительные приемы, подобные разбираемым здесь и в дальнейшем, разумеется, ни в какой мере не подрывают справедливости наших теоретических рассуждений. Ведь эти приемы по существу эквивалентны применению атомных процессов, подобных явлению Комптона, для которых приложимость закона сохранения количества движения хорошо установлена.

Но наиболее существенная разница между обеими рассмотренными нами экспериментальными установками заключается в следующем. В той установке, которая пригодна для измерения количества движения первой диафрагмы, мы уже не можем использовать эту диафрагму как измерительный прибор и употреблять её с той же целью, как в первоначальной установке. Поскольку мы интересуемся положением диафрагмы относительно остального прибора, мы уже должны считать её, как и частицу, проходящую через щель, объектом исследования; это значит, что мы должны явным образом принять во внимание квантово-механические соотношения неопределённости для её положения и количества движения. В самом деле, даже если бы мы знали то положение (относительно пространственной системы отсчёта, т. е. подставки), которое занимала диафрагма до первого измерения её количества движения, и даже если бы мы точно установили её положение после второго измерения, то всё же, пользуясь второй установкой, мы теряем возможность судить о положении диафрагмы в тот момент, когда через щель проходила частица; это происходит потому, что в каждом процессе столкновения диафрагмы с пробными телами она подвергается смещению, которое не поддаётся контролю. Поэтому вся наша установка в её втором варианте, очевидно, непригодна для изучения тех явлений, которые изучались при помощи её первого варианта. В частности, можно показать следующее. Предположим, что количество движения первой диафрагмы измерено с точностью, достаточной, чтобы судить о том, прошла или нет частица через какую-либо определённую щель во второй диафрагме. В таком случае даже минимальная неопределённость в положении первой диафрагмы, совместная с наличием такого рода сведений о её количестве движения, сотрет всю интерференционную картину, определяющую расположение тех зон на фотографической пластинке, куда возможно попадание частицы. Между тем, наличие нескольких щелей во второй диафрагме непременно привело бы к такого рода интерференционному эффекту, если бы взаимное расположение всех частей прибора было фиксировано.