Как известно, новое развитие квантовой теории началось с фундаментальной работы Гейзенберга, в которой ему удалось полностью освободиться от классического понятия движения и с самого начала заменить обычные кинематические и механические величины символами, относящимися непосредственно к индивидуальным процессам, требуемым квантовым постулатом. Это было достигнуто заменой разложения классически-механических величин в ряд Фурье некоторой матричной схемой, элементы которой символизируют чисто гармонические колебания и ассоциируются с возможными переходами между стационарными состояниями. На основании требования, чтобы частоты, сопоставленные элементам этой матрицы, всегда удовлетворяли комбинационному принципу спектральных линий, Гейзенберг смог ввести простые правила расчёта для этих символов, позволяющие непосредственно перенести основные уравнения классической механики на язык квантовой теории. Этот остроумный переход к динамической проблеме в атомной теории с самого начала оказался исключительно сильным и плодотворным методом количественной интерпретации экспериментальных результатов. Благодаря работам Борна и Иордана, а также Дирака теория получила формулировку, которая могла конкурировать с классической механикой в отношении общности и законченности. Особенно примечательно, что такой элемент, характерный для квантовой теории, как постоянная Планка, входит в явной форме только в правила расчётов над символами (так называемыми матрицами). Матрицы, соответствующие канонически сопряженным переменным в смысле уравнений Гамильтона, не подчиняются закону коммутативности относительно умножения; вместо этого для двух таких величин 𝑞 и 𝑝 справедливо следующее правило перестановки:

𝑝𝑞-𝑞𝑝

=

√

-1

ℎ

2π

.

(3)

Это соотношение действительно ярко выражает символический характер матричной формулировки квантовой теории. Матричную теорию часто называют исчислением с непосредственно наблюдаемыми величинами. Однако следует помнить, что описанный прием ограничивается только такими проблемами, в которых при применении квантового постулата возможен в большой мере отказ от пространственно-временно́го описания, и поэтому вопрос о наблюдении в собственном смысле отходит на задний план.

Для дальнейшего прослеживания соответствия квантовых законов и классической механики особое значение имело подчёркивание статистического характера квантового описания, который обусловлен квантовым постулатом. В этом отношении благодаря обобщению символических методов Дираком и Иорданом был достигнут большой прогресс, сделавший возможным оперирование с матрицами, элементы которых расположены не по стационарным состояниям, но в которых допустимые значения любого набора переменных могут входить в качестве индексов матричных элементов. Аналогично тому, как в первоначальной теории «диагональные элементы», связанные только с одним стационарным состоянием, могли интерпретироваться как средние по времени значения изображаемых величин, общая теория преобразований матриц допускает представление таких средних значений некоторой механической величины, причём при вычислении этих средних некоторый набор переменных, характеризующих «состояние» системы, имеет данные значения, в то время как канонически сопряженные переменные могут принимать все возможные значения. На основе метода, разработанного этими авторами, и в тесной связи с идеями Борна и Паули Гейзенберг попытался в уже цитированной работе дать более детальный анализ физического содержания квантовой теории и особенно на первый взгляд парадоксального перестановочного соотношения (3). В связи с этим он сформулировал соотношение

Δ𝑞Δ𝑝

∼

ℎ

(4)

как общее выражение для максимально возможной точности, с которой могут одновременно наблюдаться две канонически сопряженные переменные. Таким путём Гейзенберг смог выяснить многие, парадоксы, возникавшие при применении квантового постулата, и доказать в широких пределах непротиворечивость символического метода. В связи с дополнительной природой квантово-теоретического описания мы должны, как уже отмечалось, постоянно иметь в виду возможности определения и наблюдения. Именно при обсуждении этого вопроса метод волновой механики, развитый Шредингером, как увидим, оказал большую помощь. Этот метод допускает общее применение принципа суперпозиции также в проблеме взаимодействия и, таким образом, позволяет установить непосредственную связь с обсуждавшимися выше соображениями об излучении и свободных частицах. В дальнейшем мы вернёмся к связи волновой механики с общей формулировкой квантовых законов при помощи теории преобразования матриц.

§ 5. Волновая механика и квантовый постулат

Уже в своих первоначальных соображениях о волновой теории материальных частиц де Бройль указал, что стационарные состояния атома могут рассматриваться как интерференционный эффект фазовых волн, сопоставленных связанному электрону. Верно, что эта точка зрения вначале давала в количественном отношении не больше, чем старые методы квантовой теории, в развитие которых столь существенный вклад внёс Зоммерфельд. Однако Шредингеру удалось развить метод волновой механики, открывший новые аспекты и имевший решающее значение для огромного прогресса атомной теории в последние годы. В самом деле, было найдено, что собственные колебания волнового уравнения Шредингера дают представление стационарных состояний атома, отвечающее всем требованиям. При этом энергия каждого состояния связана с соответствующим периодом колебания общим квантовым соотношением (1). Кроме того, число узлов различных собственных колебаний даёт простую интерпретацию понятия квантового числа, которое было известно уже из старых методов, но сначала казалось исчезнувшим в матричной формулировке. Далее Шредингер смог связать с решениями волнового уравнения непрерывное распределение электрического заряда и тока, которые в применении к некоторому собственному колебанию представляют электростатические и магнитные свойства атома в соответствующем стационарном состоянии. Аналогичным образом, суперпозиция двух собственных решений соответствует непрерывному колеблющемуся распределению электрического заряда. При этом возникающее согласно классической электродинамике излучение служит поучительной иллюстрацией к следствиям квантового постулата и требованиям соответствия в отношении процесса перехода между двумя стационарными состояниями, сформулированными в матричной механике. Другое приложение метода Шредингера, важное для дальнейшего развития, дал Борн в своем исследовании столкновений атомов и свободных электрических частиц. В связи с этим ему удалось установить статистическую интерпретацию волновой функции, которая позволяет вычислить вероятность индивидуальных процессов перехода, требуемых квантовым постулатом. Это заключает в себе волновомеханическую формулировку адиабатического принципа Эренфеста, плодотворность которого особенно ясно следует из многообещающих исследований Хунда по проблеме образования молекул.

Благодаря этим результатам Шредингер выразил надежду, что развитие волновой теории, быть может, позволит в конце концов устранить иррациональные элементы, выражаемые квантовым постулатом, и открыть путь для полного описания атомных явлений, соответствующего основным чертам классических теорий. В подтверждение такого взгляда в недавно появившейся работе ⁴ Шредингер подчеркнул, что дискретный обмен энергией между атомами, требуемый квантовым постулатом, с точки зрения волновой теории заменяется простым резонансом. В частности, представление об индивидуальных стационарных состояниях оказалось бы фикцией и его применимость служила бы только иллюстрацией упомянутого резонанса. Однако мы должны принимать во внимание, что в этой проблеме резонанса речь идёт о замкнутой системе, которая, согласно изложенной здесь точке зрения, не поддаётся никакому наблюдению. Действительно, с этой точки зрения волновая механика, как и матричная теория, представляет собой символическое толкование проблемы движения в классической механике, приспособленное к требованиям квантовой теории и поддающееся интерпретации только при явном использовании квантового постулата. В самом деле, можно сказать что обе формулировки проблемы взаимодействия являются дополнительными в том же самом смысле, как волновое и корпускулярное представления в описании свободных объектов. С этим различием в исходных пунктах как раз и связано кажущееся противоречие в применении энергетического аспекта в обеих теориях.