𝑑𝑉
𝑑𝑥
=
4π𝑒4
𝑀1𝑚𝑉3
(𝑍
1
эфф
)
2
∑
𝑠
ln
⎛
⎜
⎝
𝑚𝑉3
2πν𝑠𝑒2𝑍1эфф
⎞
⎟
⎠
+
+
4π𝑒4𝑍12𝑍22
𝑀1𝑀2𝑉3
ln
⎛
⎜
⎝
𝑀1𝑀2
𝑀1+𝑀2
⋅
𝑉2𝑎12экр
𝑍1𝑍2𝑒2
⎞
⎟
⎠
,
(1)
где 𝑁 — число атомов газа в единице объёма, 𝑒 и 𝑚 — заряд и масса электрона, 𝑍1𝑚, 𝑍2𝑚 и 𝑀1 и 𝑀2 — заряды и массы ядер фрагмента и атомов газа соответственно, 𝑍1эфф — эффективный при соударении с электроном заряд ядра осколка и 𝑎12экр — расстояние между ядрами, на котором электронное экранирование эффективно кладёт предел взаимодействию их зарядов при близких столкновениях. Суммирование в первом члене правой части формулы (1) распространяется на различные электроны атомов газа или скорее на различные виртуальные атомные осцилляторы с частотами ν𝑠, взятые с соответствующими весами.
Первый член учитывающий торможение осколка, которое происходит вследствие передачи энергии отдельным электронам атомов, соответствует прежней формуле 4 для описания торможения быстрых частиц, основанной на простом классическом рассмотрении. Она отличается от полученной Бете 5 в рамках борновского приближения квантовомеханической формулы множителем
ϰ
=
ℎ𝑉/4π𝐸
1
𝐸
2
(2)
в аргументе логарифма. Здесь ℎ — постоянная Планка, а 𝐸1 и 𝐸2 — заряды рассматриваемых частиц, т. е. в нашем случае 𝐸1=𝑍1эфф𝑒 и 𝐸2=𝑒. Причина, по которой в нашем случае используется классическая формула, а не формула Бете, состоит в том, что, как будет показано ниже, величина ϰ мала по сравнению с единицей на всём участке тормозного пути, где электронные взаимодействия являются существенным фактором торможения. Действительно, применительно к столкновению двух заряженных частиц простое квантовомеханическое рассмотрение является строгим только при ϰ≪1. Когда же ϰ≫1, хорошим приближением, несомненно, является классическая картина 6.
4 N. Bohr. Phil. Mag., 1913, 25, 10; 1915, 30, 581 (статьи 4 и 13, т. I).
5 Н. А. Вéthе. Ann. d. Physik, 1930, 5, 325.
6 Cp.: F. Bloch. Ann. d. Physik, 1933, 16, 285; E. J. Williams. Sci. Progress, 1936, 121. Более подробное обсуждение см. в работе, цитируемой в примечании 11.
Второй член в формуле (1) учитывает торможение, возникающее в результате прямой передачи импульса от осколка атомам газа при близком ядерном столкновении. Так как немногие из таких столкновений приводят к возникновению ответвлений от трека осколка, основной вклад в торможение в конце пробега обусловлен многочисленными столкновениями, каждое из которых недостаточно эффективно для создания наблюдаемого ответвления и влияет только на ионизацию вдоль трека частицы. В этом случае величина ϰ весьма мала (∼10-3) и, следовательно, реализуются условия, в которых классическое описание применимо с очень высокой степенью точности. В противоположность случаю электронных столкновений, когда предельная величина передаваемой энергии обусловлена динамическими свойствами атомных осцилляторов (на что указывает зависимость аргумента логарифма от ν𝑠), предел, определяемый параметром 𝑎12экр, накладывает экранирование зарядов ядер сталкивающихся атомов статическим распределением заряда связанных электронов.
Приведённая в предыдущей заметке формула, описывающая скорость торможения осколков, была получена из соотношения (1) путём подстановки в него грубых оценок
𝑍
1
эфф
=
𝑉/𝑉
0
и
𝑎
12
экр
=
𝑎
0
⎛
⎜
⎝
1
𝑍1
+
1
𝑍2
⎞
⎟
⎠
(3)
где использованы обычные обозначения
𝑎
0
=
ℎ
2
/4π
2
𝑚𝑒
2
и
𝑉
0
=
2π𝑒
2
/ℎ
(4)
для радиуса электронной орбиты атома водорода и скорости электрона на ней. Однако более детальное рассмотрение распределения электронов в тяжёлых атомах, основанное на результатах, которые были получены статистическим методом Томаса — Ферми, приводит к более точным оценкам
𝑍
1
эфф
=
𝑍
1
1/3
𝑉/𝑉
0
и
𝑎
12
экр
=
𝑎
0
⎛
⎝
𝑍
1
2/3
+
𝑍
2
2/3
⎞-1/2
⎠
(5)
Первое из равенств (5) определяет результирующий заряд осколка деления вместе с электронным кором при скоростях, не очень близких к 𝑉0; второе выражение определяет эффективный радиус экранирования в ядерных столкновениях, который практически не зависит от скорости осколка во всём рассматриваемом интервале.
Подставляя значение 𝑍1эфф из (5) в формулу (2), получаем
ϰ
=
1/2
𝑍
1
2/3
,
(6)
откуда видно, что значение ϰ достаточно мало по сравнению с единицей, так как для осколков деления величина 𝑍12/3 лежит в интервале от 3 до 4. Таким образом, оправдывается использование классической механики при выводе формулы (1). Для сравнения в дальнейшем с торможением α-частиц интересно наметить, что это значение ϰ оказывается даже значительно меньше значений ϰ-1 для протонов и α-частиц в том же интервале скоростей. Относительно оправданности использования первого члена в формуле (1) для описания торможения осколков деления в результате столкновений с электронами можно заметить следующее. Линейные размеры кора осколка, радиус которого приближённо выражается формулой
𝑟
𝑐
=
𝑎
0
𝑍
1
1/3
𝑉
0
/𝑉
,
(7)
разумеется, имеют как раз тот же порядок величины, что и минимальное расстояние, на которое в соответствии с классической механикой электрон, имеющий скорость 𝑉, может подойти к частице с зарядом 𝑍1эфф.
Как уже отмечалось в предыдущей заметке, формула (1) предсказывает, что скорость торможения почти не зависит от скорости осколка в начальной части пробега в соответствии с почти постоянным наклоном экспериментальной кривой скорость — пробег в этой области. Этот результат вытекает из линейной зависимости величины 𝑍1эфф от 𝑉, а также из того, что в рассматриваемом сейчас интервале скоростей сумма логарифмов в первом члене формулы (1) примерно пропорциональна 𝑉. При оценке абсолютной величины этой суммы путём сравнения с экспериментальными данными о торможении α-частиц такой же скорости необходимо иметь в виду, что в последнем случае в аргументе логарифма в формуле (1) присутствует множитель ϰ, поскольку к таким лёгким частицам следует применять формулу Бете; это приводит к значительной поправке. Оценка, основанная на предположении о статистическом распределении осцилляторов по частотам ν𝑠 в тяжёлых атомах, приводит к результату, что значение суммы логарифмов, как и в случае α-частиц, почти пропорционально 𝑍21/2 но его численное значение составляет лишь около 3/5 от значения для α-частиц, имеющих ту же скорость.
