Из условия (49) в этом случае получаем
𝐶=-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑎
2𝑛-3
.
(66)
Формулы (64), (65) и (66) дают
ζ=
𝑛
𝑞
𝐴
𝑎
𝑛-1
cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡
-
-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4
2𝑛-1
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡
+
+
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑛²+2𝑛-2
2𝑛-1
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ
-
-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑞𝑡
-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑎
2𝑛-3
.
(67)
ТРЕТЬЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Из уравнений (47) и (48) находим
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑟
-
1
𝑟²
∂Φ
∂θ
∂ζ
∂θ
+ζ
∂²Φ
∂𝑟²
+
ζ²
2
∂³Φ
∂𝑟³
+
+
2ζ
𝑟³
∂Φ
∂θ
∂ζ
∂θ
-
ζ
𝑟²
∂²Φ
∂𝑟∂θ
∂ζ
∂θ
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0
(68)
и
ρ
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
+ζ
∂²Φ
∂𝑟∂𝑡
+
ζ²
2
∂²Φ
∂𝑟²∂𝑡
-
1
2
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
⎫²
⎪
⎭
-
1
2𝑟²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
-
-ζ
∂²Φ
∂𝑟²
∂Φ
∂𝑟
-
ζ
𝑟²
∂²Φ
∂𝑟∂ζ
+
ζ
𝑟³
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
-
-𝑇
⎡
⎢
⎣
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
+
ζ²
𝑎³
+
1
2𝑎³
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
+
+
2ζ
𝑎³
∂²ζ
∂θ²
-
ζ3
𝑎4
-
3ζ
2𝑎4
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
-
3ζ
𝑎4
∂²ζ
∂θ²
+
3
2𝑎4
∂²ζ
∂θ²
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
+
𝐹(𝑡)=0
.
Подставляя сюда значения Φ, ζ и 𝑞 из формул (61), (62) и (67), получаем (чтобы не усложнять выкладки сверх необходимого, мы ограничимся вычислением лишь тех членов, которые дают вклад в изменение 𝑞)
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑟
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=
𝑛³(𝑛²-1)(28𝑛³-42𝑛²+35𝑛-6)
32𝑞²(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
×
×
𝐴
3
𝑎
3𝑛-5
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝑃
1
cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
𝑃
2
sin 2𝑞𝑡
+
𝑃
3
cos 3𝑛θ sin 3𝑞𝑡
+
+
𝑃
4
cos 3𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
𝑃
5
cos 𝑛θ sin 3𝑞𝑡
(70)
и
ρ
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
-𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
⎫
⎪
⎭
+
𝐹(𝑡)
=
=
-ρ
𝑛²(𝑛²-1)(40𝑛³-24𝑛²+65𝑛-30)
32𝑞²(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
𝐴
3
𝑎
3𝑛-5
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝑄
1
cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡
+
𝑄
2
cos 2𝑛θ
+
𝑄
3
cos 2𝑞𝑡
+
𝑄
4
+
+
𝑄
5
cos 3𝑛θ cos 3𝑞𝑡
+
𝑄
6
cos 3𝑛θ cos 𝑞𝑡
+
𝑄
7
cos 𝑛θ cos 3𝑞𝑡
(71)
Исключая ζ из соотношений (70) и (71), находим
⎡
⎢
⎣
ρ
∂²Φ
∂𝑡²
-
𝑆
𝑎²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
+
∂³Φ
∂𝑟∂θ²
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
+
𝐹'(𝑡)
=
=
-ρ
𝑛²(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)
16𝑞²(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
𝐴
3
𝑎
3𝑛-5
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝑆
1
cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
𝑆
2
sin 2𝑞𝑡
+
𝑆
3
cos 3𝑛θ sin 3𝑞𝑡
+
+
𝑆
4
cos 3𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
𝑆
5
cos 𝑛θ sin 3𝑞𝑡
(72)
Полагая 𝐹'(𝑡)=𝑆2 sin 2𝑞𝑡, уравнению (72) можно удовлетворить при
𝑄=
𝐴𝑟
𝑛
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
𝐴
1
𝑟
2𝑛
cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
