+
𝐴
2
𝑟
3𝑛
cos 3𝑛θ sin 3𝑞𝑡
+
𝐴
3
𝑟
3𝑛
cos 3𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝐴
4
𝑟
𝑛
cos 𝑛θ sin 3𝑞𝑡
,
(73)
если
𝑞²
=
𝑇
𝑎³ρ
(𝑛³-𝑛)
⎡
⎢
⎣
1-
𝐴²
𝑎
2𝑛-4
𝑛²(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)
16𝑞³(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
⎤
⎥
⎦
.
(74)
Продолжая вычисления таким же образом, как и во втором приближении, получаем
ζ=𝐴
𝑛
𝑞
𝑎
𝑛-1
⎡
⎢
⎣
1-
𝐴²
𝑛²
𝑞²
𝑎
2𝑛-4
(𝑛²-1)(28𝑛³-42𝑛²+35𝑛-6)
32(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
⎤
⎥
⎦
×
×
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝐵
1
cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡
+
𝐵
2
cos 2𝑛θ
+
𝐵
3
cos 2𝑞𝑡
+
𝐵
4
+
+
𝐵
5
cos 3𝑛θ cos 3𝑞𝑡
+
𝐵
6
cos 3𝑛θ cos 𝑞𝑡
+
𝐵
7
cos 𝑛θ cos 3𝑞𝑡
,
(75)
где коэффициенты 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 и 𝐵4 - те же, что и во втором приближении, а 𝐵5, 𝐵6 и 𝐵7 — величины порядка 𝐴³.
Полагая коэффициент при cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡 в формуле (75) равным 𝑏, находим в результате всех вычислений, что уравнение поверхности цилиндра из жидкости, совершающего чисто периодические двумерные колебания, имеет вид
𝑟=𝑎+𝑏
cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡
+
𝑏²
𝑎
⎡
⎢
⎣
-
2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4
8(2𝑛²+1)
cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡
+
+
𝑛²+2𝑛-2
8(2𝑛-1)
cos 2𝑛θ
-
1
8
cos 2𝑞𝑡
-
1
8
⎤
⎥
⎦
+
𝑏³
𝑎²
(…)+…
,
(76)
где
𝑞²
=
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛)
⎡
⎢
⎣
1-
𝑏²
𝑎²
(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)
16(2𝑛²+1)(2𝑛-1)
+
+
𝑏4
𝑎4
(…)+…
⎤
⎥
⎦
.
В экспериментах струя обычно совершает стационарные колебания в трёх измерениях, так что сечение струи не одинаково во всех точках. Если, однако, скорость струи 𝑐 столь велика, что длина волны λ велика по сравнению с диаметром струи, то в каждом сечении движение будет очень мало отличаться от движения в двумерном случае, и тогда можно считать, что форма поверхности струи описывается уравнением (76).
Полное решение в трёхмерном случае можно записать в виде
𝑟=𝑎+𝑏
cos 𝑛θ cos 𝑘𝑧
+
+
𝑁
1
𝑏²
𝑎
⎡
⎢
⎣
1+α
1,1
⎧
⎪
⎩
𝑎
λ
⎫2
⎪
⎭
1+α
1,2
⎧
⎪
⎩
𝑎
λ
⎫4
⎪
⎭
+…
⎤
⎥
⎦
cos 2𝑛θ cos 2𝑘𝑧
+
+
𝑁
2
𝑏²
𝑎
⎡
⎢
⎣
1+α
2,1
⎧
⎪
⎩
𝑎
λ
⎫2
⎪
⎭
+…
⎤
⎥
⎦
cos 2𝑛θ
+…
и
𝑘²
=
1
𝑐²
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛)
⎡
⎢
⎣
1+β
1
⎧
⎪
⎩
𝑎
λ
⎫2
⎪
⎭
+β
2
⎧
⎪
⎩
𝑎
λ
⎫4
⎪
⎭
+…
⎤
⎥
⎦
×
×
⎧
⎨
⎩
1+
𝑀
1
𝑏²
𝑎²
⎡
⎢
⎣
1+γ
1
⎧
⎪
⎩
𝑎
λ
⎫2
⎪
⎭
+…
⎤
⎥
⎦
+
𝑀
2
𝑏4
𝑎4
(1+…)+…
⎫
⎬
⎭
,
где константы 𝑁1, 𝑁2, … и 𝑀1, 𝑀2, … равны соответствующим константам в уравнении (76) при подстановке в него 𝑡=𝑧/𝑐, и 𝑞=2πλ/𝑐=𝑘/𝑐.
Пренебрегая поправками более высокого порядка по 𝑏/𝑎, пользуясь формулой Рэлея для длины волны бесконечно малых трёхмерных колебаний [см. соотношение (36)] и полагая для простоты 𝑛=2 (что соответствует проведенным экспериментам), получаем
𝑟=𝑎+𝑏
cos 2θ cos 𝑘𝑧
+
𝑏²
6𝑎
cos 4θ cos 4𝑘𝑧
+
𝑏²
4𝑎
cos 4θ
-
-
𝑏²
8𝑎
cos 2𝑘𝑧
-
𝑏²
8𝑎
…
(77)
и
𝑘²
=
𝑇𝑖𝑘𝑎
𝐽
'
2
(𝑖𝑘𝑎)
ρ𝑐²𝑎³ 𝐽
2 (𝑖𝑘𝑎)
(3+𝑎²𝑘²)
⎧
⎪
⎩
1-
𝑙²
𝑘²
37
24
⎫
⎪
⎭
.
(78)
Формула (78) даёт искомую поправку к длине волны.
Из уравнения (77) можно сделать ещё некоторые заключения. Полагая 𝑧=0, получаем
𝑟=𝑎-
𝑏²
4𝑎
+𝑏 cos 2θ+
5
12
𝑏²
𝑎
cos 4θ+… .
(79)
Такой вид должно иметь уравнение границы отверстия, из которого вытекает струя, чтобы колебания были чисто периодическими (предполагается, что скорость в каждой точке сечения струи у отверстия одна и та же по величине и направлению). Отсюда видна ошибочность точки зрения П. О. Педерсена, согласно которой струя, вытекающая из отверстия с уравнением границы 𝑟=α+β cos 2θ, должна совершать колебания более близкие к чисто периодическим, чем струя из эллиптического отверстия (𝑟=α+β cos 2θ + 3/4⋅β²/α cos 4θ…).
Полагая θ=0, имеем
𝑟=𝑎
+
𝑏²
8𝑎
+𝑏 cos 𝑘𝑧
+
1
24
