В нашей же задаче коэффициент инерции 𝑎 не будет одинаковым для двух систем, так как в неконсервативной системе 𝑎 зависит от коэффициента вязкости (то же самое имеет место и во всех аналогичных проблемах гидродинамики, когда потенциал скорости существует для консервативной, но не существует для неконсервативной системы).
Из последующего будет видно, что в действительности поправки к длине волны пропорциональны не δ2, а δ3/2.
Чтобы найти изменение длины волны вследствие вязкости, следует рассмотреть вопрос более детально. Подобное исследование было проведено Рэлеем 1 для случая колебаний цилиндра вязкой жидкости под действием капиллярных сил при сохранении симметрии относительно оси цилиндра. Однако последнее условие (симметрия) в указанной работе с самого начала используется в такой форме, что проведенные расчёты нельзя применять к случаю колебаний более общего вида, о которых речь пойдёт ниже. Результаты нашего рассмотрения не охватывают частный случай, исследованный Рэлеем, поскольку для упрощения расчётов не принимались специальные меры предосторожности, обеспечивающие возможность перехода к пределу 𝑛=0.
1 Rayleigh. Phil. Mag., 1892, XXXIV, 145.
Общие уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости, свободной от действия внешних сил, имеют вид
μ∇²𝑢-ρ
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
∂𝑝
∂𝑥
,
μ∇²𝑣-ρ
𝐷𝑣
𝐷𝑡
=
∂𝑝
∂𝑦
,
μ∇²𝑤-ρ
𝐷𝑤
𝐷𝑡
=
∂𝑝
∂𝑧
,
(1)
∂𝑢
∂𝑥
+
∂𝑣
∂𝑦
+
∂𝑤
∂𝑧
=
0,
(2)
где 𝑢, 𝑣, 𝑤 — компоненты скорости, 𝑝 — давление, ρ — плотность, μ — коэффициент вязкости и
∇²
=
∂²
∂𝑥²
+
∂²
∂𝑦²
+
∂²
∂𝑧²
,
𝐷
𝐷𝑡
=
∂
∂𝑡
+𝑢
∂
∂𝑥
+𝑣
∂
∂𝑦
+𝑤
∂
∂𝑧
.
В рассматриваемой задаче движение является стационарным. Положим 𝑤=𝑐+ω. Считая, что 𝑢, 𝑣 и 𝑤 имеют вид ƒ(𝑥,𝑦)•𝑒𝑖𝑏𝑧 и достаточно малы, чтобы при расчётах можно было пренебречь их произведениями (и величинами того же порядка), из уравнений (1) получаем
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑢
=
1
μ
∂𝑝
∂𝑥
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑣
=
1
μ
∂𝑝
∂𝑦
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
ω
=
1
μ
∂𝑝
∂𝑧
.
(3)
Из уравнений (3) и (2) следует
∇²𝑝=0.
(4)
Полагая
𝑢
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑥
+
𝑢
1
,
𝑣
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑦
+
𝑣
1
,
ω
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑧
+
ω
1
,
(5)
получаем
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑢
1
=0
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑣
1
=0
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
ω
1
=0
,
(6)
и
∂𝑢1
∂𝑥
+
∂𝑣1
∂𝑦
+
∂ω1
∂𝑧
=0
.
(7)
Введём полярные координаты 𝑟 и θ (𝑥=𝑟 cos θ, 𝑦=𝑟 sin θ), а также радиальную и тангенциальную составляющие скорости α и β. С помощью соотношений
𝑡
=
α cos θ - β sin θ,
𝑢
=
α sin θ + β cos θ,
𝑡
1
=
α
1
cos θ - β
1
sin θ,
𝑢
1
=
α
1
sin θ + β
1
cos θ,
∂
∂𝑥
=
cos θ
∂
∂𝑟
-
sin θ
1
𝑟
∂
∂θ
,
∂
∂𝑦
=
sin θ
∂
∂𝑟
+
cos θ
1
𝑟
∂
∂θ
,
(8)
из равенств (5) получаем
α
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑟
+α
1
,
β
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
1
𝑟
∂𝑝
∂θ
+β
1
;
(9)
из уравнений (6) и (7), имея в виду, что ∇²=∂²/∂𝑟² + (1/𝑟)∂/∂𝑟 + (1/𝑟²)∂²/∂θ² + ∂²/∂𝑧² находим
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
α
1
-
α1
𝑟²
-
2
𝑟²
∂β1
∂θ
=0,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
β
1
-
β1
𝑟²
-
2
𝑟²
∂α1
∂θ
=0
(10)
и
∂α1
∂𝑟
+
α1
𝑟
+
1
𝑟
∂β1
∂θ
+
∂ω1
∂𝑧
=0.
(11)
Полагая, что 𝑝, α, β, ω и соответственно α1, β1, ω1 имеют вид ƒ(𝑟)𝑒𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧, из уравнения (4) получаем
