∇²𝑝
=
∂²𝑝
∂𝑟²
+
1
𝑟
∂𝑝
∂𝑟
-
𝑝
⎧
⎪
⎩
𝑛²
𝑟²
+𝑏²
⎫
⎪
⎭
=0.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию ограниченности при 𝑟=0, имеет вид
𝑝=
𝐴𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(12)
где 𝐽𝑛 функция Бесселя 𝑛-го порядка. Из уравнений (6) имеем
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
ω
1
=
∂²ω2
∂𝑟²
+
1
𝑟
∂ω1
∂𝑟
-
ω
1
⎧
⎪
⎩
𝑚²
𝑟²
+
𝑑²
⎫
⎪
⎭
=0,
𝑑²
=
𝑎²
+
𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
,
(13)
откуда
ω
1
=
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(14)
Исключая β1 из уравнений (10) и (11), имеем
𝑟
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
α
1
+2
∂α1
∂𝑟
+
α1
𝑟
=-2
∂ω1
∂𝑧
,
откуда
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
(𝑟α
1
)
=-2
𝑖𝑏
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
(15)
Поскольку, однако,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
=
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
+2
∂²
∂𝑟²
+
2
𝑟
∂
∂𝑟
+
2
𝑟²
∂²
∂θ²
=
=
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
+2
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
-2
⎧
⎪
⎩
∂²
∂𝑧²
-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
,
это даёт
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
𝑟
∂
∂𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
⎤
⎥
⎦
=
=2
⎧
⎪
⎩
𝑏²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
=
2𝑏²
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(16)
и из соотношений (15) и (16) следует, что
α
1
=
⎡
⎢
⎣
𝑏
𝑑
𝐵𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝐶
1
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(17)
а из (11) получаем
-
1
∂β
1
𝑟
∂θ
=
∂α1
∂𝑟
+
α1
𝑟
+
∂ω1
∂𝑧
=
=
⎧
⎨
⎩
𝐵
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑏
𝐽
''
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝑏
1
𝑑
𝑟
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝑖𝑏
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
+
𝐶
𝑖𝑏
1
𝑟
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎫
⎬
⎭
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(18)
С помощью соотношения
𝐽
''
𝑛
(𝑥)
+
1
𝑥
𝐽
'
𝑛
(𝑥)
+
⎧
⎪
⎩
1-
𝑛²
𝑥²
⎫
⎪
⎭
𝐽
𝑛
(𝑥)
=0
(19)
из уравнения (18) имеем
β
1
=
⎡
⎢
⎣
𝐵
𝑛𝑏
1
𝑑
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
-𝐶
𝑑
𝑛
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(20)
Подставляя в равенства (9) и (5) выражения для 𝑝, α1, β1 и ω1, задаваемые формулами (12), (14), (17) и (20), получаем
α=
⎡
⎢
⎣
-𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝑏
𝑑
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+𝐶
1
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
β=
⎡
⎢
⎣
-𝐴
𝑛
1
𝑏𝑐ρ
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝑏𝑛
1
𝑑²
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+𝐶
𝑑
𝑛
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
𝑤=𝑐+ω=𝑐+
⎡
⎢
⎣
-𝐴
1
𝑒ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝐽
