𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(21)
Предположим, что уравнение поверхности имеет вид
𝑟-𝑎=ζ=𝐷
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
Из общего граничного условия на поверхности имеем
𝐷
𝐷𝑡
(𝑟-𝑎-ζ)
=
⎧
⎪
⎩
α
∂
∂𝑟
+
β
∂
𝑟
∂θ
+𝑤
∂
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
(𝑟-𝑎-ζ)
=0,
откуда, пренебрегая величинами того же порядка малости, что и раньше, находим
𝑎-𝑐
∂ζ
∂𝑧
=0,
ζ=-
𝑖
𝑐𝑏
α.
(22)
Обозначая главные радиусы кривизны через 𝑅1 и 𝑅2, получаем, далее, аналогичным образом
1
𝑅1
+
1
𝑅2
=
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
∂²ζ
𝑎²
∂θ²
-
∂²ζ
∂𝑧
=
1
𝑎
-α
𝑖(𝑛²-1+𝑏²𝑎²)
𝑎²𝑐𝑏
.
(23)
Пусть 𝑃𝑟, 𝑃θ и 𝑃𝑧 — соответственно радиальная, тангенциальная и аксиальная составляющие действующей в вязкой жидкости силы сцепления, отнесённой к единице площади элемента поверхности, расположенного перпендикулярно радиус-вектору. Принимая рассматриваемый радиус-вектор за ось 𝑋 и используя общепринятые обозначения, имеем
𝑃
𝑟
=
𝑝
𝑥,𝑥
=
-𝑝
+2μ
∂𝑢
∂𝑥
,
𝑃
θ
=
𝑝
𝑥,𝑦
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂𝑣
∂𝑥
+
∂𝑢
∂𝑦
⎫
⎪
⎭
,
𝑃
𝑧
=
𝑝
𝑥,𝑧
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂𝑤
∂𝑥
+
∂𝑢
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
.
Используя соотношения (8), дифференцируя и полагая θ=0, получаем
𝑃
𝑟
=
-𝑝
+2μ
∂α
∂𝑟
,
𝑃
θ
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂β
∂𝑟
+
1
∂α
𝑟
∂θ
-
β
𝑟
⎫
⎪
⎭
,
𝑃
𝑧
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂α
∂𝑧
+
∂𝑤
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
.
(24)
Введём коэффициент поверхностного натяжения 𝑇; предполагая отсутствие «поверхностной вязкости», динамические условия на поверхности с прежней степенью точности можно записать в виде
𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑅1
+
1
𝑅2
⎫
⎪
⎭
+
𝑃
𝑟
=const,
𝑃
θ
=0,
𝑃
𝑧
=0;
(25)
отсюда, принимая во внимание равенства (23) и (24), получаем
⎡
⎢
⎣
-𝑇α
𝑖(𝑚²-1+𝑎²𝑏²)
𝑎²𝑐𝑏
-𝑝+2μ
∂α
∂𝑟
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0,
(26)
⎧
⎪
⎩
1
∂α
𝑟
∂θ
+
∂β
∂𝑟
-
β
𝑟
⎫
⎪
⎭𝑟=𝑎
=0,
⎧
⎪
⎩
∂α
∂𝑧
+
∂𝑤
∂𝑟
⎫
⎪
⎭𝑟=𝑎
=0.
(27)
Подставляя в эти условия значения 𝑝, α, β и 𝑤, задаваемые формулами (12) и (21), и исключая 𝐵/𝐴 и 𝐶/𝐴, получаем уравнения для определения 𝑏. Поскольку вычисления оказываются довольно длинными и приводят к очень громоздкому результату, мы не будем воспроизводить указанную процедуру точно, а ограничимся приближением, достаточным для наших целей.
В экспериментах численное значение величины | 𝑖𝑎𝑏 | оказывается малым, так как длина волны обычно велика по сравнению с диаметром струи: значение же величины | 𝑖𝑎𝑑 |, напротив, велико, так как мал коэффициент вязкости. (Во всех экспериментах | 𝑖𝑎𝑏 | < 0,24 и | 𝑖𝑎𝑑 | > 20.)
При всех значениях 𝑥 справедливо разложение
𝐽
𝑛
(𝑥)
=
𝑥𝑛
2𝑛⋅𝑛!
-
𝑥𝑛+2
2𝑛+2⋅1!(𝑛+1)!
+
𝑥𝑛+4
2𝑛+4⋅2!(𝑛+2)!
-…
(28)
Ряд (28) быстро сходится при малых 𝑥, но очень медленно — при больших 𝑥. Из разложения (28) следует
𝐽
'
𝑛
(𝑥)
=
𝑛
𝑥
𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1-
𝑥2
2𝑛(𝑛+1)
-
𝑥4
23⋅𝑛(𝑛+1)2(𝑛+2)
-…
⎤
⎥
⎦
и далее с помощью (19)
𝐽
''
𝑛
(𝑥)
=
𝑛(𝑛-1)
𝑥²
𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1-
𝑥²(2𝑛+1)
2(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)
+
𝑥4
23(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)2(𝑛+2)
…
⎤
⎥
⎦
.
Поэтому, вычисляя диссипативные члены в уравнении для определения 𝑏, мы будем полагать
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
=-
𝑖𝑛
𝑎𝑏
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
и
𝐽
''
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
=-
𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑏²
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²(2𝑛+1)
2(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
.
(29)
Для вычисления 𝐽𝑛(𝑥) при больших значениях 𝑥 мы воспользуемся асимптотическим выражением
