𝐽
𝑛
(𝑥)
∼
(2π𝑥)
-½
⎧
⎨
⎩
[
𝑃
𝑛
(𝑥)
+
𝑖𝑄
𝑛
(𝑥)
]
exp 𝑖
⎧
⎪
⎩
𝑥-
2𝑛+1
4
π
⎫
⎪
⎭
[
𝑃
𝑛
(𝑥)
-
𝑖𝑄
𝑛
(𝑥)
]
exp -𝑖
⎧
⎪
⎩
𝑥-
2𝑛+1
4
π
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
(30)
где
𝑃
𝑛
(𝑥)
=
1-
(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)
2!(8𝑥)²
+
(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)(4𝑛²-5²)(4𝑛²-7²)
4!(8𝑥)4
-…
и
𝑄
𝑛
(𝑥)
=
4𝑛²-1²
1!8𝑥
-
(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)(4𝑛²-5²)
3!(8𝑥)3
+…
Если в формуле (30), справедливой при положительной вещественной части 𝑥, взять несколько членов, то она будет давать очень хорошее приближение для 𝐽𝑛(𝑥) при больших 𝑥. При использовании формулы (30) 𝑥 можно записать в виде 𝑎-𝑖𝑏, где 𝑎 и 𝑏 — большие положительные числа. При этом член с 𝑒𝑖𝑥 будет преобладающим; пренебрегая членом с 𝑒-𝑖𝑥, имеем
𝐽
'
𝑛
(𝑥)
=
𝑖𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑖
2𝑥
-
4𝑛²-1
8𝑥²
+
𝑖(4𝑛²-1)
8𝑥³
-…
⎤
⎥
⎦
и, согласно (19),
𝐽
''
𝑛
(𝑥)
=
-𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑖
𝑥
-
2𝑛²-1
2𝑥²
-
𝑖(4𝑛²-1)
8𝑥³
-…
⎤
⎥
⎦
.
Исходя из сказанного, мы в дальнейших расчётах положим
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
=
𝑖𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
⎧
⎪
⎩
1+
1
2𝑎𝑑
+
4𝑛²-1
8𝑎²𝑑
⎫
⎪
⎭
и
𝐽
''
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
=
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
⎧
⎪
⎩
1+
1
𝑎𝑑
+
2𝑛²+1
2𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
(31)
Теперь из соотношений (27) с помощью (29) и (31) мы получаем
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
2𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑏
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2(𝑛-1)(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
+
+
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
2𝑛𝑏
𝑎𝑑
⎧
⎪
⎩
1+
3
2𝑎𝑑
+
4𝑛²-1
8𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
-
-
𝐶
𝑛
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
𝑖𝑑²
𝑛
⎧
⎪
⎩
1+
2
𝑎𝑑
+
2𝑛²+1
𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
=0
(32)
и
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
2𝑛
𝑎
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
+
+
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
𝑑
⎧
⎪
⎩
1+
1
2𝑎𝑑
+
4𝑛²-1
8𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
-
𝐶𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
𝑖𝑏
𝑎
=0.
(33)
Из соотношений (32) и (33) находим
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
≈
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
2𝑛
𝑎𝑑
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
⎧
⎪
⎩
1-
1
2𝑎𝑑
-
12𝑛²-8𝑛-3
8𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
и
𝐶𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
≈
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
𝑖2𝑛²(𝑛-1)
𝑎²𝑑²𝑏
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2(𝑛²-1)
⎤
⎥
⎦
⎧
⎪
⎩
1-
2
𝑎𝑑
-
2𝑛²-3
𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
.
(34)
Формула (26) с учётом равенств (12), (21), (29), (31), (34) и (13) теперь даёт
𝑏²-𝑖𝑏
μ
ρ
⋅
4𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑐
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
𝑛(𝑛-1)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1+
𝑛-1
𝑎𝑑
+
(𝑛-1)(2𝑛-3)
2𝑎²𝑑²
⎤
⎥
⎦
-
-𝑇
𝑖𝑏𝑎 𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
𝑝𝑐²𝑎³ 𝐽
𝑛 (𝑖𝑎𝑏)
(𝑛²-1+𝑎²𝑏²)=0.
(35)
Полагая в формуле (35) μ=0, получаем решение Рэлея
𝑏
2
0
=
𝑖𝑏𝑎 𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑏
0
)
𝑝𝑐²𝑎³ 𝐽
𝑛 (𝑖𝑎𝑏0)
(𝑛²-1+𝑎²𝑏
2
0
)=
=
𝑏(𝑛³-𝑛)
𝑝𝑐²𝑎³
⎡
⎢
⎣
1+
(3𝑛-1)𝑎
2
𝑏
2
0
2𝑛(𝑛
2
-1)
+
3(𝑛+3)𝑎
4
𝑏
4
0
8𝑛(𝑛-1)(𝑛+1)
2
(𝑛+2)
+…
⎤
⎥
⎦
.
(36)
Положительный корень этого уравнения мы в дальнейшем будем обозначать через 𝑘0.
