Из соотношений (35) и (36) в используемом приближении получаем
𝑏²-𝑖𝑏
μ
ρ
⋅
4𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑐
⎡
⎢
⎣
1+
(5𝑛+1)𝑎²𝑘
2
0
2𝑛(𝑛
2
-1)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1+
𝑛-1
𝑎𝑑
+
(𝑛-1)(2𝑛-3)
2𝑎²𝑑²
⎤
⎥
⎦
-
-𝑘
2
0
=0.
(37)
В пределах точности того же приближения можно подставить в (37), имея в виду (13),
𝑖𝑎𝑑
=
𝑖𝑎
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑘
0
𝑐ρ
μ
⎫½
⎪
⎭
=
(1-𝑖)
⎧
⎪
⎩
𝑎²𝑘0𝑐ρ
μ
⎫½
⎪
⎭
,
где выбор знака определяется тем, чтобы вещественная часть 𝑖𝑎𝑑 была положительной [см. соотношение (30)]. При этом равенство (37) принимает вид
𝑏²-𝑖𝑏
μ
ρ
⋅
4𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑐
⎡
⎢
⎣
1+
(5𝑛+1)𝑎²𝑘
2
0
2𝑛(𝑛
2
-1)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1-(1-𝑖)
𝑛-1
2
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘0
⎫½
⎪
⎭
-
-𝑖
(𝑛-1)(2𝑛-3)
4
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘0
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
-𝑘
2
0
=0.
(38)
Решая равенство (38) относительно 𝑏, получаем, полагая 𝑏=𝑘+𝑖ε,
𝑘=𝑘
0
⎡
⎢
⎣
1-
𝑛(𝑛-1)²
2
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘0
⎫
⎪
⎭
3/2
-
3𝑛(𝑛-1)²
4
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘0
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
(39)
и
ε=
μ
ρ
⋅
2𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑐
⎡
⎢
⎣
1+
(5𝑛+1)𝑎²𝑘
2
0
2𝑛(𝑛
2
-1)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1-
𝑛-1
2
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘20
⎫½
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
.
(40)
Все использовавшиеся уравнения были линейными, так что физический смысл проделанного расчёта состоит в доказательстве существования движения потока жидкости с поверхностью, описываемой уравнением
𝑟=𝑎+𝑏𝑒
-ε𝑧
cos 𝑘𝑧 sin 𝑛θ,
где 𝑘 и ε определяются формулами (39) и (40).
Поправка на вязкость, которую следует ввести в силу поверхностного натяжения, может быть получена из формул (36) и (39); имеем
𝑇
=
𝑘²
ρ𝑐²𝑎³ 𝐽
𝑛 (𝑖𝑎𝑘)
𝑖𝑎𝑘 𝐽
'
𝑛 (𝑖𝑎𝑘) (𝑛²-1+𝑎²𝑘²)
⎡
⎢
⎣
1+𝑛(𝑛-1)²
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘
⎫
⎪
⎭
3/2
+
+
3𝑛(𝑛-1)²
2
⎧
⎪
⎩
2μ
ρ𝑐𝑎²𝑘
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
.
(41)
УЧЁТ ВЛИЯНИЯ КОНЕЧНОСТИ АМПЛИТУДЫ
Теперь мы вычислим поправку к длине волны, связанную с конечной величиной амплитуды волны. Мы используем приближённый метод, который в принципе был указан Стоксом 1.
1 G. G. Stokes. Camb. Trans., 1847, VIII, 441.
Последующий расчёт будет относиться к двумерным колебаниям цилиндрического потока жидкости без вязкости. Для трёхмерного случая задача может быть решена аналогичным способом, но расчёты при этом становятся весьма трудоёмкими и вряд ли имеют практическое значение с точки зрения целей настоящего исследования. Если ограничиться рассмотрением струй, диаметр которых мал по сравнению с длиной волны, то движение будет очень незначительно отличаться от двумерного, так что малая поправка к длине волны вследствие конечной величины амплитуды может считаться одинаковой в обоих случаях.
При решении задачи будет предполагаться существование потенциала скорости Φ. Используя полярные координаты и обозначая через α и β соответственно радиальную и тангенциальную составляющие скорости, имеем
α= -
∂Φ
∂𝑟
,
β= -
1
𝑟
∂Φ
∂θ
.
Считая жидкость несжимаемой, получаем
∂α
∂𝑟
+
α
𝑟
+
1
𝑟
∂β
∂θ
= -
⎧
⎪
⎩
∂²Φ
∂𝑟²
+
1
𝑟
∂Φ
∂𝑟
+
1
𝑟²
∂²Φ
∂θ²
⎫
⎪
⎭
=0.
(42)
Решение уравнения (42), удовлетворяющее условию конечности скорости при 𝑟=0, может быть записано в виде
Φ=
∑∑
𝐴
𝑛,𝑞
𝑟
𝑛
cos(𝑛θ+τ
𝑛
)
sin(𝑞𝑡+ε
𝑞
),
(43)
где 𝑛 — положительные целые числа.
Уравнение поверхности жидкости запишем в виде
