𝑟=𝑎+ζ, ζ=ψ(θ,𝑡).
Условия на поверхности в указанных обозначениях имеют вид
𝐷
𝐷𝑡
(𝑎-ζ-𝑟)
=
⎧
⎪
⎩
∂
∂𝑡
+α
∂
∂𝑟
+
β
𝑟
∂
∂θ
⎫
⎪
⎭
(𝑎-ζ-𝑟)
и
𝑝-
𝑇
𝑅
=0,
(44)
где 𝑅 — радиус кривизны поверхности.
Из равенства (44) находим
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂𝑡
-
1
𝑟²
∂Φ
∂θ
∂ζ
∂θ
+
∂Φ
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
𝑟=𝑎+ζ
=0
(45)
и
ρ
⎧
⎨
⎩
∂Φ
∂𝑡
-
1
2
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
⎫²
⎪
⎭
+
1
𝑟²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑟=𝑎+ζ
-𝑇
⎡
⎢
⎣
(𝑎+ζ)²+2
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
-
-
(𝑎+ζ)
∂²ζ
∂θ²
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(𝑎+ζ)²
+
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤-3/2
⎥
⎦
+
𝐹(𝑡)
=0.
(46)
Рассматривая малые колебания поверхности около положения равновесия 𝑟=𝑎, будем считать ζ малой величиной первого порядка. Из соотношений (43), (45) и (46) видно, что при этом Φ должно быть величиной также первого порядка малости, если 𝐹(𝑡) определено таким образом, что Φ не содержит членов, не зависящих от 𝑟 или θ.
Из соотношений (45) и (46) получаем с помощью теоремы Тэйлора
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
1+ζ
∂
∂𝑟
+
ζ²
2
∂²
∂𝑟²
+…
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
-
1
𝑟²
∂Φ
∂θ
∂ζ
∂θ
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0
(47)
и
ρ
⎧
⎨
⎩
⎧
⎪
⎩
1+ζ
∂
∂𝑟
+
ζ²
2
∂²
∂𝑟²
+…
⎫
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
-
1
2
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
⎫²
⎪
⎭
-
1
2𝑟²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭𝑟=𝑎
-
-𝑇
⎡
⎢
⎣
(𝑎+ζ)²+2
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
-
(𝑎+ζ)
∂²ζ
∂θ²
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(𝑎+ζ)²
+
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤-3/2
⎥
⎦
+
𝐹(𝑡)
=0.
(48)
Из уравнений (43), (47) и (48) ζ может быть найдено с точностью до константы, которую можно определить из условия
2π
∫
0
𝑎+ζ
∫
0
𝑟𝑑𝑟𝑑θ
=
2π
∫
0
1
2
(𝑎+ζ)²𝑑θ
=
π𝑎².
(49)
ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Найдём решение задачи, пренебрегая всеми членами выше первого порядка малости. Из соотношений (47) и (48) имеем
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑟
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0
(50)
и
ρ
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
-𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑎
+
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
⎫
⎪
⎭
+
𝐹(𝑡)
=0.
(51)
Исключая ζ из равенств (50) и (51), получаем
⎡
⎢
⎣
ρ
∂²Φ
∂𝑡²
-
𝑇
𝑎²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
+
∂²Φ
∂𝑟∂²θ
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
+
𝐹'(𝑡)
=0.
(52)
Если 𝐹'(𝑡)=0, то уравнению (52) удовлетворяет функция
Φ=𝐴𝑟
𝑛
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,
где
𝑞²
=
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛)
(53)
Подставляя это выражение в равенство (50), находим
∂ζ
∂𝑡
=-
𝑛𝑎
𝑛-1
𝐴 cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,
ζ=
𝑛
𝑞
𝑎
𝑛-1
𝐴 cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡+ƒ(θ)
.
(54)
Уравнение (51) при подстановке выражений из (53) и (54) даёт соотношение
