ƒ(θ)
+
ƒ''(θ)
=const,
которому удовлетворяет функция
ƒ(θ)=𝐶.
При этом из (49) следует, что
𝐶=0.
В первом приближении уравнение колебаний имеет следующий общий вид:
𝑟=𝑎+
∑
𝑏
𝑛
cos(𝑛θ+τ
𝑛
)
cos(𝑞
𝑛
𝑡+ε
𝑛
),
где
𝑞
2
𝑛
=
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛).
Что касается более высоких приближений, то общее уравнение колебаний нельзя записать в каком-либо аналогичном виде, так как колебания различных типов являются независимыми лишь в первом приближении.
Теперь займёмся вычислением высших приближений для колебаний чисто периодического типа, для которых первое приближение имеет вид
Φ=𝐴𝑟
𝑛
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,
ζ=
𝑛
𝑞
𝑎
𝑛-1
𝐴 cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡+ƒ(θ)
,
𝑞²
=
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛)
.
(55)
ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Из (47) в (48) имеем
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑟
+ζ
∂²Φ
∂𝑟²
-
1
𝑟²
∂Φ
∂θ
∂ζ
∂θ
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0
(56)
и
ρ
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
+ζ
∂²Φ
∂𝑟∂𝑡
-
1
2
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
⎫²
⎪
⎭
-
1
2
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
-
-𝑇
⎡
⎢
⎣
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
+
ζ²
𝑎³
+
1
2𝑎³
⎧
⎪
⎩
∂ζ
∂θ
⎫²
⎪
⎭
+
2ζ
𝑎³
∂²ζ
∂θ²
⎤
⎥
⎦
+
𝐹(𝑡)=0
.
(57)
Подставляя значения (55) для Φ, ζ и 𝑞, получаем во втором приближении
∂ζ
∂𝑡
+
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑟
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=-
𝑛²(2𝑛-1)
4𝑞
𝑎
2𝑛-3
𝐴²cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
+
𝑛²
4𝑞
𝑎
2𝑛-3
𝐴²sin 2𝑞𝑡
(58)
и
ρ
⎡
⎢
⎣
∂Φ
∂𝑡
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
-𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
𝑎²
∂²ζ
∂θ²
⎫
⎪
⎭
+
𝐹(𝑡)=
=-ρ
𝑛(2𝑛-1)(𝑛²+2𝑛-2)
8(𝑛²-1)
𝑎
2𝑛-2
𝐴²(cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡 + cos 2𝑛θ)
-
-ρ
𝑛(4𝑛³+3𝑛²-4𝑛-2)
8(𝑛²-1)
𝑎
2𝑛-2
𝐴² cos 2𝑛θ
-ρ
𝑛(3𝑛²-2)
8(𝑛²-1)
𝑎
2𝑛-2
𝐴²
.
(59)
Исключая ζ из равенств (58) и (59), находим
⎡
⎢
⎣
ρ
∂²Φ
∂𝑡²
-
𝑇
𝑎²
⎧
⎪
⎩
∂Φ
∂𝑟
+
∂³Φ
∂𝑟∂²θ
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
+
𝐹'(𝑡)
=
=-ρ
3𝑞𝑛(𝑛-1)(2𝑛+1)
4(𝑛+1)
𝑎
2𝑛-2
𝐴² cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
+
ρ
4
𝑞𝑛(4𝑛+3)
𝑎
2𝑛-2
𝐴² sin 2𝑞𝑡
.
(60)
Полагая
𝐹'(𝑡)
=
ρ
4
𝑞𝑛(4𝑛+3)
𝑎
2𝑛-2
𝐴² sin 2𝑞𝑡
,
мы видим, что уравнению (60) удовлетворяет функция
Φ=
𝐴𝑟
𝑛
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
-
3𝑛(𝑛-1)²(2𝑛+1)
8(2𝑛²+1)𝑞𝑎²
𝐴²𝑟
2𝑛
cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡,
(61)
где, как и в первом приближении,
𝑞²
=
𝑇
ρ𝑎³
(𝑛³-𝑛)
.
(62)
Подставляя это в (58), получаем
∂ζ
∂𝑡
=-
𝑛𝑎
𝑛-1
𝐴
cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡
+
+
𝐴²
𝑛²
4𝑞
2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4
2𝑛²+1
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡
+
+
𝐴²
𝑛²
4𝑞
𝑎
2𝑛-3
sin 2𝑞𝑡,
(63)
а из (63) имеем
ζ=-
𝑛
𝑞
𝐴
𝑎
𝑛-1
cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡
-
-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4
2𝑛²+1
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡
-
-
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑞𝑡
+
ƒ(θ).
(64)
Подставляя в (59) найденные значения для Φ, 𝑞, ζ и 𝐹'(𝑡), имеем уравнение
ƒ(θ)
+
ƒ'(θ)
=-
𝐴
𝑛²
8𝑞²
(2𝑛+1)(𝑛²+2𝑛-2)
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ
+const,
которому удовлетворяет функция
ƒ(θ)
=
𝐴²
𝑛²
8𝑞²
𝑛²+2𝑛-2
2𝑛+1
𝑎
2𝑛-3
cos 2𝑛θ
+𝐶.
(65)
