ω=

⎧

⎪

⎩

2𝑊³

π²𝑒⁴𝑚

⎫½

⎪

⎭

, 2𝑎

=

𝑒²

𝑊

,

(6)

где 𝑒 — заряд, 𝑚 — масса электрона, 𝑊 — работа, необходимая для удаления электрона от ядра в бесконечность. Простота этих формул побуждает применить их для объяснения водородного спектра, но это невозможно до тех пор, пока наши представления опираются на классическую теорию излучения. В самом деле, по этой теории совершенно нельзя понять, каким образом излучение водорода имеет спектр, состоящий из тонких линий; так как ω меняется с 𝑊, мы должны бы предположить, что частота излучаемого света непрерывно меняется во время излучения. Положение дела меняется, если мы рассмотрим задачу на основании приведённых выше представлений теории квантов. Составим для каждой линии произведение ℎν, умножая на ν обе части равенства (5); мы видим, что правая часть полученного соотношения может быть написана в виде разности двух простых членов. Сравнивая с формулой (4), мы приходим к заключению, что отдельные линии спектра соответствуют переходам между двумя стационарными состояниями, принадлежащими к бесконечному ряду состояний; энергия 𝑛-го состояния определяется (если отбросить произвольную постоянную) выражением

𝐸

_𝑛

=-

𝐾ℎ

𝑛²

.

(7)

Выбор отрицательного знака определяется тем, что энергия атома проще всего характеризуется работой, требуемой для удаления электрона в бесконечность; мы обозначили её выше через 𝑊. Подставляя в формулу (6) вместо 𝑊 выражение (7), мы получаем число оборотов электрона и большую ось орбиты для 𝑛-го стационарного состояния

ω

_𝑛

=

1

𝑛³

⎧

⎪

⎩

2ℎ³𝐾³

π³𝑒⁴𝑚

⎫½

⎪

⎭

, 2𝑎

=

𝑛²𝑒²

ℎ𝐾

.

(8)

Мы могли бы теперь исследовать отношение движений, описываемых; этими формулами, к особым состояниям осциллятора Планка. Не будем, однако, подробнее рассматривать этот вопрос, рациональная трактовка которого может привести к теоретическому определению постоянной 𝐾; мы покажем только, каким образом постоянная 𝐾 может быть получена простым сравнением спектра излучения и движений в стационарных состояниях; это сравнение сразу приведёт нас к упомянутому выше принципу соответствия.

Согласно нашим предпосылкам, всякая линия спектра водорода соответствует излучению при переходе между двумя состояниями атома, которым отвечают различные значения 𝑛 число оборотов и большая ось эллипса могут быть при этом самыми разнообразными. Как показывают формулы (8), с уменьшением энергии атома во время процесса излучения большая ось орбиты электрона уменьшается и число оборотов возрастает. Таким образом, вообще говоря, исключается возможность получить соотношение между числом оборотов электрона и частотой излучения, соответствующее обычным представлениям об излучении. Рассмотрим, однако, отношение чисел оборотов двух стационарных состояний, отвечающих числам 𝑛' и 𝑛'', в том случае, когда 𝑛' и 𝑛'' постепенно возрастают; мы увидим, что отношение приближается к единице, хотя разность 𝑛'-𝑛'' остаётся неизменной. Таким образом, открывается возможность получить некоторое основание для сравнения наших воззрений с обычными представлениями теории излучения в том случае, когда рассматриваются переходы, соответствующие большим значениям 𝑛' и 𝑛''. Для частоты излучения при таком переходе на основании формулы (5) имеем

ν=

𝐾

(𝑛'')²

-

𝐾

(𝑛')²

=

(𝑛'-𝑛'')𝐾

𝑛'+𝑛''

(𝑛')²(𝑛'')²

.

(9)

Если числа 𝑛' и 𝑛'' велики по сравнению с их разностью, это выражение на основании формул (8) приближённо может быть записано в виде

ν

∼

(𝑛'-𝑛'')ω

⎧

⎪

⎩

2π 𝑑⁴𝑚

𝐾ℎ³

⎫½

⎪

⎭

,

(10)

где ω — число оборотов в одном из двух состояний. Так как 𝑛'-𝑛'' — целое число, мы видим, что первая часть выражения, т. е. ω(𝑛'-𝑛'') совпадает с частотой одной из гармонических компонент, на которые может быть разложено эллиптическое движение электрона. Как известно, для всякого периодического движения с числом оборотов ω смещение ξ частиц системы в положительном направлении пространства может быть представлено как функция времени тригонометрическим рядом вида

ξ

=

∑

𝐶

_τ

cos 2π(τω𝑡+𝑒

_τ

)

,

(11)

где суммирование распространяется на все положительные целые значения τ.

Таким образом, мы видим, что частота излучения, испускаемого при переходе между стационарными состояниями, характеризуемыми числами 𝑛' и 𝑛'', большими по сравнению с их разностью, совпадает с частотой одной из компонент излучения, которую можно ожидать при избранном движении электрона в стационарном состоянии на основании обычных представлений. Это совпадение будет иметь место в том случае, если последний множитель в правой части формулы (10) будет равен единице. Такое условие равносильно следующему:

𝐾

=

2π²𝑒⁴𝑚

ℎ³

.

(12)

Оно фактически выполняется, если подставить для 𝐾 значение, найденное из измерений в водородном спектре, а для 𝑒, 𝑚, ℎ — значения, непосредственно определяемые на опыте. Такое совпадение устанавливает связь между спектром и моделью атома водорода; если принять во внимание фундаментальное различие между представлениями теории квантов и обычной теорией излучения, то найденная связь становится тем более замечательной.

Рассмотрим теперь ближе обнаруженную связь между спектрами, ожидаемыми по теории квантов, с одной стороны, и обычной теорией излучения — с другой стороны, в области, где стационарные состояния очень мало отличаются одно от другого. Как уже показано, частоты спектральных линий в этой области, вычисленные тем и другим методами, совпадают; мы не должны, однако, забывать, что механизм излучения в обоих случаях совершенно различен. По обычной теории излучения различные компоненты испускаемого атомом излучения, соответствующие различным компонентам движения, излучаются одновременно с относительной интенсивностью, определяемой отношением амплитуд колебания. Совершенно иначе обстоит дело в интерпретации теории квантов. Согласно этой теории, различные спектральные линии соответствуют совершенно различным процессам, состоящим в переходе из одного стационарного состояния в различные близкие стационарные состояния; излучение, соответствующее τ-му обертону, происходит при переходе, для которого 𝑛'-𝑛'' = τ. При этом относительная интенсивность отдельных спектральных линий излучения зависит от относительной вероятности различных переходов. Задаваясь вопросом о более глубоком значении найденного Соответствия, мы вправе, естественно, ожидать, что соответствие не ограничивается совпадением частот спектральных линий, вычисляемых тем и другим методом, но простирается и на их интенсивности. Такое ожидание равносильно тому, что вероятность определённого перехода между двумя стационарными состояниями связана известным образом с амплитудой соответствующей гармонической компоненты.