ω=π

𝑝

_τ

²

𝑁

=

π𝑛²𝑒⁴(1-β²)𝑁

τ²β⁴𝑐⁴𝑚²

.

Поскольку ωΔ𝑥 мало, эту вероятность можно записать в виде 𝑒^-ωΔ𝑥. Соответственно вероятность того, что β-частица пройдет слой толщиной, большей 𝑥, не испытав такого столкновения, которому соответствует ψ > τ, будет определяться выражением 𝑊=𝑒^-λ, где

λ=

_𝑥

∫

⁰

ω𝑑𝑥

.

Выражая 𝑑𝑥 с помощью формулы (18) и используя те же обозначения, как и выше, находим

λ=

_𝑇

∫

^𝑇₀

𝑛²(1-β²)𝑑𝑇

2τ²β²𝑐²𝑚Σ

.

Полагая величину Σ постоянной, мы получаем отсюда с помощью выражения (25) для 𝑑𝑇 что

-λ=

𝑛²

2τ²Σ

_β

∫

¹

𝑑β

β(1-β²)^½

=

𝑛²

2τ²Σ

ln

1-(1-β²)^½

1+(1-β²)^½

=

𝑛²

2τ²Σ

ln

𝑆

𝑆+4

,

где 𝑆, как и ранее, обозначает последний множитель выражения (28) для пробега 𝑅. Окончательно имеем

𝑊=𝐾

⎧

⎪

⎩

𝑆

𝑆+4

⎫𝑛/(8τ²Σ)

⎪

⎭

,

(29)

где 𝑆 примерно пропорционально пробегу выходящих из слоя лучей, а 𝐾 — константа.

Формула (29) даёт оценку для числа β-частиц, которые остаются в пике распределения скоростей в пучке выходящих лучей; это число можно сравнить с ионизацией, измерявшейся в экспериментах Вардера. Видно, что 𝑊 очень сильно зависит от 𝑛 и, следовательно, от атомного веса поглощающего вещества. Как упоминалось выше, Σ для таких быстрых β-лучей примерно пропорционально 𝑛, так что показатель степени в формуле (29) тоже пропорционален 𝑛. Используя алюминий в качестве поглощающего вещества, Вардер нашёл, что ионизация примерно пропорциональна пробегу выходящих лучей, в то время как в случае бумаги, которая использовалась в экспериментах, ионизация падала с увеличением толщины более медленно, а в случае серебра и платины — гораздо быстрее. Для алюминия 𝑛 = 13 и (1/𝑛)Σ = 18 при β = 0,9. Полагая показатель степени в выражении для 𝑊 равным 1, получаем, что τ = 0,30 и φ примерно равно 30° — значение правильное по порядку величины. В случае бумаги показатель степени в формуле (29) оказывается в два раза меньшим, чем для алюминия, а в случае платины — более чем в пять раз бо́льшим при тех же значениях τ и φ.

В связи с расчётами, проведёнными в настоящем параграфе, интересно отметить, что полученное приблизительное согласие между теорией и данными измерений представляет собой серьёзное подтверждение формул для импульса и энергии электрона при больших скоростях последнего. Предположим, что для импульса и энергии электрона используются без изменения выражения, справедливые при малых скоростях. При этом формулы (26) и (27) не изменятся, но величина 𝑉, полученная из значений для 𝐻ρ, станет больше в (1-β²)^-½ раз. Подставляя это значение скорости в формулу (27), мы должны были бы получить, что значение Δ(𝐻ρ) для самых быстрых лучей окажется примерно в 30 раз меньшим, чем наблюдавшееся Данишем, а значения в последнем столбце табл. 2 перестанут быть примерно постоянными и будут изменяться более чем в 20 раз — от медленных лучей к быстрым. Если, с другой стороны, предположить что выражения для импульса справедливы, но «продольная» масса электрона равна его «поперечной» массе, мы получили бы те же самые значения для 𝑉, что и приведённые в таблице; однако тогда в формулах (26) и (27) возник бы множитель (1-β²)^-1. В этом случае рассчитанные значения Δ(𝐻ρ) для самых быстрых лучей были бы в 15 раз больше наблюдаемых, а значения, приведённые в последнем столбце, перестанут быть почти постоянными: они будут для быстрых лучей в 10 раз больше, чем для медленных. Таким образом, оказывается, что измерения торможения β-лучей при их прохождении через вещество представляют собой эффективный метод проверки формулы для импульса и энергии электрона при больших скоростях.

§ 6. Ионизация, производимая α- и β-лучами

Теория ионизации, производимой в газе α- и β-лучами, была разработана Дж. Дж. Томсоном ¹. В этой теории предполагается, что быстро движущиеся частицы проникают через атомы газа и испытывают столкновения с содержащимися в нем электронами. Число образующихся пар ионов считается равным числу столкновений, при которых переданная частицей электрону энергия больше некоторого значения 𝑊, необходимого для удаления электрона из атома. Это число легко получить, если пренебрегать влиянием межатомных сил. Дифференцируя формулу (1) по 𝑝 и подставляя вместо 𝑝𝑑𝑝 выражение, получаемое из (3), имеем

𝑑𝐴

=

2π𝑒²𝐸²𝑁𝑛Δ𝑥

𝑚𝑉²

𝑑𝑄

𝑄²

(30)

¹ См. прим. 4 на стр. 215.

Обозначая через 𝑄₀ значение 𝑄 при 𝑝 = 0, из формулы (1) находим, интегрируя (30) по 𝑄 в пределах от 𝑊 до 𝑄₀:

𝐴

_𝑊

=

2π𝑒²𝐸²𝑁𝑛Δ𝑥

𝑚𝑉²

⎧

⎪

⎩

1

𝑊

-

1

𝑄₀

⎫

⎪

⎭

,

(31)

где

𝑄

₀

=

2𝑚𝑀²𝑉²

(𝑚+𝑀)²

.

(32)

Если рассматривается вещество, в котором различным электронам соответствуют разные значения 𝑊, вместо формулы (31) получим

𝐴

_𝑊

=

2π𝑒²𝐸²𝑁Δ𝑥

𝑚𝑉²

_𝑛

∑

¹

⎧

⎪

⎩

1

𝑊

-

1

𝑄₀

⎫

⎪

⎭

.

(33)

Дж. Дж. Томсон показал, что формула (31) может в хорошем приближении объяснить относительное число ионов, образуемых α- и β-лучами. Однако, если мы подставим в формулу (31) значение 𝑊, полученное по наблюдаемым ионизационным потенциалам, и числа электронов в атомах, которые, как было найдено в § 4, согласуются с теорией, то получим абсолютные значения 𝐴_𝑊, в несколько раз меньшие, чем наблюдаемая ионизация. Возможно, что это расхождение может быть объяснено, если учесть вторичную ионизацию, производимую электронами, выбитыми из атомов при столкновениях с α- и β-частицами. Правда, в работе Дж. Дж. Томсона утверждается, что эту вторичную ионизацию можно считать малой по сравнению с первичной, так как треки α- и β-частиц на фотографиях Ч. Вильсона обнаруживают очень малое число ответвлений. Однако расчёты свидетельствуют о том, что пробеги большого числа вторичных частиц, способных ионизовать атомы, столь малы, что их невозможно заметить. Рассматриваемые частицы являются электронами с энергией, превосходящей 𝑊, возникающими, следовательно, при столкновениях, в которых α- или β-частицы теряют энергию, большую, чем 2𝑊. Число таких столкновений описывается формулой (31), если в ней 𝑊 заменить на 2𝑊 Обозначим это число через 𝐴_2𝑊 Полная потеря энергии частицей при рассматриваемом столкновении примерно равна