𝐻ρ
=
𝑐²𝑚
𝑒
β(1-β²)
-½
.
(24)
Это даёт
Δ(𝐻ρ)
=
𝑐²𝑚
𝑒
(1-β²)
-½
Δ
β
.
Далее, из теории относительности известно, что
𝑇
=
𝑐²𝑚
[
(1-β²)
-½
-1]
;
отсюда получаем
Δ𝑇
=
𝑐²𝑚
β
(1-β²)
-3/2
Δ
β
.
(25)
Следовательно,
Δ
𝑇
=
𝑒β
Δ
(𝐻ρ)
.
(26)
Таким образом, из формулы (18), подставляя 𝐸 = 𝑒 в 𝑉/𝑐 = β, имеем
Δ(𝐻ρ)
=
2π𝑒³𝑁Δ𝑥
𝑝𝑐²β³
𝑛
∑
1
⎡
⎢
⎣
ln
𝑘²𝑐²𝑁𝑛Δ𝑥
4πν
-ln
1-β²
β
-β²
⎤
⎥
⎦
.
За исключением очень высоких скоростей, последний множитель меняется незначительно. Поэтому в соответствии с данной теорией можно ожидать, что Δ(𝐻ρ) будет примерно пропорционально β-3 Третий столбец табл. 2 содержит значения β а четвертый — значения произведения β3Δ(𝐻ρ) Как видно из таблицы, в пределах ошибок эксперимента значения в этом столбце постоянны.
Полагая 𝑛 = 13 и используя значение (1/𝑚)∑ ln ν = 39,0, вычисленное из экспериментов с β-лучами, мы получаем из формулы (27) для алюминиевой фольги толщиной 0,01 г/см²
β
=
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
β
3
Δ
(𝐻ρ)
=
40
41
42
44
46
Имея в виду значительные экспериментальные трудности и большое различие масс и скоростей α- и β-лучей, можно считать, что полученное приближённое согласие является удовлетворительным. Среднее значение Δ(𝐻ρ), вычисленное по формуле (б) § 1 для случая малых скоростей, примерно в 1,3 раза больше только что приведённого, и это различие быстро растет с увеличением скорости β-лучей.
Измерения торможения β-лучей в металлах большего атомного веса проводить труднее, чем в случае алюминия, вследствие большего эффекта рассеяния лучей. Даниш нашёл, что скорость торможения примерно пропорциональна весу поглощающего экрана, рассчитанного на 1 см². Так как число электронов в любом веществе примерно пропорциональна весу и так как различие в собственных частотах гораздо меньше влияет на быстрые β-лучи, чем на α-лучи, подобные результаты и следовала ожидать из теории.
Если мы примем, что формула (18) справедлива также и для потерь энергии, испытываемых β-лучами при прохождении слоёв вещества большей толщины, то получим для «пробега» β-частиц
𝑅
=
𝑅
∫
0
𝑑𝑥
=
𝑇
∫
0
𝑚𝑐2β2𝑑𝑇
2π𝑒4𝑁Σ
,
где Σ обозначает последний множитель в формулах (18) и (27). Считая Σ константой и используя приведённую выше формулу для Δ𝑇 получаем
𝑅
=
𝑚2𝑐4
2π𝑒4𝑁Σ
β
∫
0
β3𝑑β
(1-β2)3/2
=
=
𝑚2𝑐4
2π𝑒4𝑁Σ
[
(1-β
2
)
1/2
+
(1-β
2
)
1/2
-2
]
.
(28)
Р. Вардер 1 провёл недавно серию интересных экспериментов по поглощению моноэнергетических β-лучей. Он измерял изменения ионизации, производимой лучами в плоской ионизационной камере, вводя на пути пучка к камере экраны различной толщины. Используя алюминиевые экраны, он нашёл, что ионизация изменялась почти линейно с толщиной экрана; его графики явно свидетельствуют о существовании «длины пробега» β-частиц. Вардер сравнил наблюдавшиеся им пробеги с последним множителем формулы (28), который мы обозначим через 𝑆. При этом он нашёл, что отношение между пробегом и величиной 𝑆, хотя и очень слабо зависит от начальной скорости лучей, медленно растет с увеличением скорости. Этого и следовало ожидать из приведённого выше расчёта, поскольку 2 медленно возрастает с ростом скорости. Вардер нашёл, что отношение 𝑅/𝑆 = 0,35 при β = 0,8 и 𝑅/𝑆 = 0,30 при β = 0,96 если 𝑅 измерять в граммах на квадратный сантиметр. Первый множитель в теоретической формуле равен 0,42 при β = 0,8 и 0,38 при β = 0,96. Согласие, таким образом, можно считать вполне удовлетворительным.
1 R. V. Varder Phil. Mag., 1915, 29, 725.
Распределение пробегов отдельных частиц пучка первоначально моноэнергетических β-лучей при прохождении через слой вещества значительной толщины не описывается формулой (12), которая использовалась в предыдущем параграфе, поскольку (см. § 2) распределение потерь энергии даже при прохождении тонких слоёв существенно отличается от даваемого формулой (8). В дополнение к этому следует принять во внимание рассеяние лучей в поперечном направлении, связанное с отклонениями, происходящими при столкновениях как с электронами, так и с положительно заряженными ядрами. Это рассеяние приводит к тому, что среднее расстояние, проходимое частицей, в действительности может оказаться больше толщины слоя. Если, однако, мы не примем во внимание столкновения, в которых частицы испытывают очень большие потери энергии или очень сильные отклонения, то можно ожидать (как и в случае § 2), что при этом β-лучи ведут себя подобно пучку α-лучей и обнаруживают достаточно малый разброс длины пробега. Поэтому распределение энергии в пучке первоначально моноэнергетических β-лучей после прохождения ими толстого слоя вещества должно, как и в случае тонких слоёв, обнаруживать чётко проявляющийся пик, резко обрывающийся со стороны больших скоростей и более плавно спадающий в сторону малых скоростей. По мере прохождения β-лучей в глубь вещества возрастает вероятность того, что частицы испытают сильное столкновение и число частиц, приходящееся на пик распределения, уменьшится. Простой расчёт показывает, что определяющий вклад в этот эффект вносят отклонения при столкновениях с положительно заряженными ядрами. Оценка влияния таких столкновений может быть произведена следующим образом.
Траектория β-частицы большой энергии, сталкивающейся с положительно заряженным ядром, была исследована Ч. Дарвином 1. Из этого расчёта следует, что угол отклонения β-частицы φ, движущейся со скоростью 𝑉 = β𝑐, задаётся формулой
1 C. G. Darwin. Phil. Mag., 1913, 25, 201.
ctg
⎡
⎢
⎣
(1-β²ψ²)
½
π-φ
2
⎤
⎥
⎦
=
ψ(1-β²ψ²)
-½
,
где
ψ=
𝑛𝑒²(1-β)½
𝑝β²𝑐²𝑚
;
здесь 𝑛𝑒 — заряд ядра, а 𝑝 — расстояние от ядра до траектории β-частицы до столкновения. Пусть 𝑝τ обозначает величину 𝑝 при ψ = τ. Вероятность того, что β-частица пройдет слой вещества Δ𝑥 не испытав такого столкновения, которому соответствует ψ > τ, равна 1-ωΔ𝑥, где
