𝑚𝑉2𝑝2
.
Если в этом выражении заменить 𝑉 на γ𝑉 и 𝐸 на γ𝐸, оно, очевидно, останется неизменным. Поэтому в случае свободных электронов при вычислении не возникает никакой поправки вследствие близости скорости β-частицы к скорости света 𝑐. Однако задача несколько усложнится, если мы примем во внимание влияние межатомных сил. В этом случае необходимо видоизменить выражение для 𝑝ν. Влияние межатомных сил приводит к дополнительной передаче энергии, связанной с компонентой силы, параллельной траектории β-частицы. При этом возникает нечто вроде резонансного эффекта, который вступает в игру, когда «время столкновения» по порядку величины совпадает с периодом колебаний электронов.
В предыдущей работе было показано, что вклад параллельной компоненты силы в величину Δ𝑇 задаётся выражением 1
𝑍
=
2π𝑒2𝐸2𝑁𝑛Δ𝑥
𝑚𝑉2
.
1 См. I стр. 70—71. Выражение, выведенное в этой работе, имело вид: 𝑍 =
2π𝑒2𝐸2𝑁𝑛Δ𝑥
𝑚𝑉2 𝐿, где 𝐿 =
∞
∫
0
1
𝑥 [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 , 𝑓(𝑥) =
∞
∫
0
cos 𝑥𝑧
(1+𝑧2)3/2 𝑑𝑧 При этом 𝐿 обозначает часть более сложного выражения, использованного при определении 𝑝ν и оценённого численно. Однако величина 𝐿 может быть получена просто, если учесть, что 𝑓''(𝑥) -
1
𝑥 -𝑓'(𝑥) -𝑓(𝑥) =0. Это даёт 𝐿 =
∞
∫
0 𝑓'(𝑥) [𝑓''(𝑥)-𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 =
1
2
⎧
⎨
⎩ [𝑓'(𝑥)]2-[𝑓(𝑥)]2
⎫
⎬
⎭
⎪∞
⎪
⎪0 Поскольку 𝑓(0) = 1 и 𝑓'(0) = 𝑓(∞) = 𝑓'(∞) = 0, отсюда следует, что 𝐿=1/2.
Поэтому из формулы (17) следует, что вклад перпендикулярной компоненты в величину Δ1𝑇 даётся выражением
𝑌
=
Δ
1
𝑇-𝑍
=
2π𝑒2𝐸2𝑁Δ𝑥
𝑚𝑉2
𝑛
∑
1
⎧
⎪
⎩
ln
𝑘2𝑉2𝑁𝑛Δ𝑥
4πν2
-1
⎫
⎪
⎭
.
Если теперь в выражении для 𝑌 заменить 𝑉 и 𝐸 на γ𝑉 и γ𝐸, а в выражении для 𝑍 заменить 𝑉 на γ𝑉, оставив 𝐸 неизменной, мы находим, складывая получившиеся выражения и подставляя значение γ следующую уточнённую формулу для Δ1𝑇:
Δ
1
𝑇
=
2π𝑒2𝐸2𝑁Δ𝑥
𝑚𝑉2
𝑛
∑
1
⎡
⎢
⎣
ln
𝑘2𝑉2𝑁𝑛Δ𝑥
4πν2
-ln
⎧
⎪
⎩
1-
𝑉2
𝑐2
⎫
⎪
⎭
-
𝑉2
𝑐2
⎤
⎥
⎦
.
(18)
Мы увидим в дальнейшем, что поправка оказывается значительной лишь тогда, когда скорость 𝑉 очень близка к скорости света, так как в противном случае последние два члена почти полностью сокращаются.
§ 4. Сравнение с данными измерений для α-лучей
В предыдущей статье было показано, что формула (5) § 1 даёт значения, хорошо согласующиеся с измерениями поглощения α-лучей в водороде и гелии, если предположить, что атомы этих элементов содержат соответственно один и два электрона; при этом характеристические частоты, использованные в формуле, определялись на основе экспериментов по дисперсии. Было показано также, что приближённое согласие с измерениями поглощения можно получить и для более тяжелых элементов. Для этого нужно предположить, что эти атомы содержат в дополнение к нескольким электронам оптических частот некоторое число более жёстко связанных электронов, собственные частоты которых по порядку величины соответствуют значениям, полученным в экспериментах по характеристическому рентгеновскому излучению. Вычисленные таким образом числа электронов находятся в приближённом согласии с предсказаниями теории Э. Резерфорда, основанной на данных по рассеянию α-лучей. Поэтому в настоящем параграфе мы рассмотрим лишь некоторые данные, полученные в последних, более точных экспериментах.
Поскольку скорость α-частиц мала по сравнению со скоростью света, имеем 𝑇=½𝑀𝑉². Поэтому из формулы (5) следует
𝑑𝑉
𝑑𝑥
=
𝐾
1
𝑛
𝑉3
⎧
⎪
⎩
ln
𝑉
3
-
1
𝑛
∑
ln ν +
𝐾
2
⎫
⎪
⎭
,
(19)
где
𝐾
1
=
4π𝑒2𝐸2𝑁
𝑚𝑀
,
𝐾
2
=
ln
𝑘𝑀𝑚
2π𝑒𝐸(𝑀+𝑚)
.
Это выражение зависит от двух величин, характеризующих различные вещества: числа электронов в молекуле 𝑛 и среднего значения логарифма собственной частоты электронов (1/𝑛)∑ ln ν. Последняя величина определяет различие вида «кривой скорости», т. е. кривой зависимости 𝑉 от для разных элементов. В предыдущей статье формула (19) сравнивалась с значениями 𝑑𝑉/𝑑𝑥 полученными из эксперимента. Однако, поскольку непосредственно наблюдавшейся величиной являются значения 𝑉, соответствующие различным 𝑥, проще сначала проинтегрировать формулу (14). Это даёт
𝑥
=
𝑉04-𝑉4
3𝑛𝐾1
⋅
1
𝑧0-𝑧1
𝑧0
∫
𝑧
𝑑𝑧
ln 𝑧
,
(20)
где
ln 𝑧
=
4
3
⎧
⎪
⎩
ln
𝑉
3
-
1
𝑛
∑
ln ν +
𝐾
2
⎫
⎪
⎭
.
Таблица для интеграла, входящего в формулу (20), дана Глейшером 1.
1 Glaisher. Phil. Trans. Roy. Soc., 1870, 160, 367.
Рассмотрим газ при 15° С и 760 мм рт. ст. Для него 𝑁𝑒 = 1,224⋅1010. Подставляя 𝑒 = 4,78⋅1010, 𝐸 = 2𝑒, 𝑒/𝑚 = 5,31⋅1017 и 𝐸/𝑀 = 1,448⋅1014, мы получаем 𝐾1 = 1,131⋅1034 и 𝐾2 = -21,80. В большинстве экспериментов использовались лучи радия С, которым соответствует скорость 𝑉0 = 1,922⋅109 см/сек 2.
2 E. Rutherford, H. Robinson. Phil. Mag., 1914, 28, 552.
Полагая, что атом водорода содержит один электрон, получаем для молекулы водорода 𝑛 = 2. Предполагая далее, что собственная частота обоих электронов в молекуле водорода равна частоте, определённой из экспериментов по дисперсии в водороде, получаем 3
ν
1
=
ν
2
=
3,52⋅10
15
,
1
𝑛
∑
ln ν
=
35,78
.
3 C. and M. Cuthbertson. Proc. Roy. Soc., 1909, A88, 166.
