Рассмотрим β-частицу, проходящую через слой вещества; предположим сначала, что не происходит столкновений, для которых λ меньше некоторого определённого значения τ. Пусть величина 𝑝, определяемая из формулы (14) при подстановке λ = τ, будет 𝑝τ Если τ не мало по сравнению с единицей, распределение вероятности потерь энергии со значительной точностью даётся формулой (8), если в выражении для 𝑃 интеграл берётся от значения 𝑝 = 𝑝τ вместо 𝑝 = 0. В соответствии со сказанным выше 𝑝τ будет велико по сравнению с 𝑎, и для 𝑃 вместо выражения (9) находим
𝑃
τ
=
1
τ
4π2𝑒2𝐸4𝑁2𝑛2Δ𝑥
𝑚2𝑉4
.
(15)
Подставляя это выражение для 𝑃τ в формулу (11), получаем для слоя алюминия толщиной 0,01 г/см², что 𝑢 примерно равно 𝑢τ = 250τ. Поэтому мы видим, что, если τ не мало по сравнению с единицей, распределение вероятности потерь энергии оказывается того же типа, что и в случае α-лучей. Среднее значение потерь энергии в рассматриваемых столкновениях просто получается из формулы (5) предыдущего параграфа, если заменить в ней 𝑎 на 𝑝τ. Это даёт
Δ
τ
𝑇
=
4π𝑒2𝐸2𝑁𝑛Δ𝑥
𝑚𝑉2
𝑛
∑
1
ln
𝑝ν
𝑝τ
.
(16)
Оценки показывают, что логарифмический множитель в этой формуле очень велик и Δτ𝑇 будет очень мало зависеть от точности значения τ. Так, для рассматриваемого слоя алюминия Δτ𝑇 меняется только на 4%, если τ изменяется от 1 до 2.
Рассмотрим теперь распределение вероятности потерь энергии при столкновениях, для которых 𝑝 меньше 𝑝τ. Так как 𝑝τ велико по сравнению с 𝑎, из формулы (14) следует, что среднее число таких столкновений очень мало отличается от τ. Если теперь τ считать малым, например равным 1, то распределение вероятности потерь энергии при соударениях будет иметь совершенно отличный от рассмотренного выше вид. Прежде всего существует определённая вероятность того, что вообще не будет никаких потерь энергии; из формулы (6) видно, что она равна 𝑒-τ. Далее, если 𝑄τ задаётся выражением (1) при 𝑝 = 𝑝τ, не может быть потерь энергии в пределах от 0 до 𝑄τ. При значении 𝑄, близком к 𝑄τ кривая вероятности очень резко возрастает и далее убывает при увеличении значений 𝑄 примерно пропорционально 𝑄-2. Для рассмотренного выше алюминиевого слоя имеем приближённо Δτ𝑇/𝑄τ = 16τ.
Из этих рассмотрений видно, что распределение потерь энергии, испытываемых β-частицей с данной начальной скоростью при прохождении через тонкий слой вещества, обнаруживает резкий максимум при значении, очень близком к Δτ𝑇 (если τ = 1), и быстро спадает по обе стороны от максимума. Значение потерь энергии, измеряемое на опыте, равно, очевидно, этому максимуму, а не среднему значению Δ𝑇 задаваемому формулой (5), как это было предположено в моей предыдущей статье. Значительное различие между этими двумя значениями объясняется очень малым числом очень сильных столкновений, вклад которых исключается при выводе формулы (16), но учитывается формулой (5). Полагая τ = 1 и подставляя в (16) значения 𝑝τ и 𝑝ν, получаем
Δ
1
𝑇
=
2π𝑒2𝐸2𝑁Δ𝑥
𝑚𝑉2
𝑛
∑
1
ln
𝑘2𝑉2𝑁𝑛Δ𝑥
4πν2
.
(17)
В § 6 мы рассмотрим вопрос о потерях энергии, испытываемых пучком β-лучей при прохождении через слой вещества большей толщины.
§ 3. Учёт влияния близости скорости β-частицы к скорости света
Расчёты, проведённые в предыдущем параграфе, основывались на формуле (1) для энергии, переданной электрону при столкновении с ним α- или β-частицы. При выводе этой формулы предполагалось, что скорость 𝑉 мала по сравнению со скоростью света 𝑐. Это условие не выполняется в случае очень быстрых β-частиц. Если 𝑉 имеет порядок величины 𝑐, расчёт величины энергии, переданной при столкновении, для общего случая требует проведения сложных вычислений. Однако задача, которую мы будем рассматривать, сильно упрощается при выполнении условия, рассмотренного в предыдущем параграфе, что измеренные экспериментально потери энергии β-частиц определяются только такими столкновениями, при которых переданная энергия мала по сравнению с полной энергией β-частицы; другими словами, при таких столкновениях 𝑎 мало по сравнению с 𝑝. Рассматривая только такие столкновения, мы можем при вычислении силы, действующей на электрон со стороны β-частицы, пренебречь смещением электрона за время столкновения, а также и его влиянием на траекторию β-частицы. Нам следует, таким образом, рассматривать влияние этой силы лишь на величину скорости β-частицы.
В электронной теории показано, что сила, действующая на покоящийся электрон со стороны частицы с зарядом 𝐸 движущейся равномерно со скоростью 𝑉 = β𝑐, направлена вдоль радиус-вектора, проведённого от частицы к электрону, и величина этой силы даётся формулой 1
𝐹=
𝑒𝐸
𝑟2
1-β2
(1-β2sin2ω)3/2
,
1 См., например О. W. Richardson. The Electron Theory of Matter. Cambridge, 1914, стр. 249.
где 𝑟 — расстояние между ними, а ω — угол между радиус-вектором и направлением движения частицы. Пусть кратчайшее расстояние от электрона до направления движения частицы равно 𝑝. Пусть, далее, ω = π/2 в момент времени 𝑡 = 0. Тогда мы имеем sin ω = 𝑝/𝑟 и 𝑟² = (𝑉𝑡)² + 𝑝². Для компонент силы, перпендикулярной и параллельной направлению движения быстрой частицы, соответственно получаем
𝐹
1
=
𝑝
𝑟
𝐹, 𝐹
2
=
𝑉𝑡
𝑟
𝐹.
Подставляя сюда выражение для 𝑟 и полагая (1 - β2)-½ = γ, находим
𝐹
1
=
𝑝𝑒γ𝐸
[(γ𝑉𝑡)2+𝑝2]3/2
, 𝐹
2
=
γ𝑉𝑡𝑒𝐸
[(γ𝑉𝑡)2+𝑝2]3/2
.
Из этих формул мы видим, что сила в каждый момент времени задаётся тем же выражением, что и в обычной электростатике, если в нем заменить скорость 𝑉 быстро движущейся частицы на γ𝑉, а при расчёте перпендикулярной компоненты силы, кроме того, заряд частицы 𝐸 заменить на γ𝐸 (при расчёте же параллельной компоненты последней замены производить не следует). При расчёте поправок, связанных с большой скоростью γ-лучей, мы должны поэтому рассматривать две компоненты силы по отдельности.
В случае свободного электрона легко видеть, что его скорость после столкновения, при котором 𝑎 мало по сравнению с 𝑝, будет почти перпендикулярна направлению движения частицы. Следовательно, в этом случае при вычислении переданной энергии нам достаточно рассмотреть лишь компоненту силы, перпендикулярную к траектории частицы. Если 𝑉 мала по сравнению с 𝑐, то из соотношения (1), пренебрегая 𝑎 по сравнению с 𝑝, получаем
𝑄
=
2𝑒2𝐸2
