4π𝑒⁴𝐸⁴𝑁

𝑚²𝑉⁴

_𝑛

∑

¹

⎧

⎪

⎩

1

𝑎²

-

1

𝑝_ν²+𝑎²

⎫

⎪

⎭

.

Предполагая, как и в предыдущем параграфе, что 𝑝_ν велико по сравнению с 𝑎 пренебрегая вторым членом под знаком суммы и подставляя значение 𝑎 из формулы (2) в первый член, находим:

𝑃

=

4π𝑒²𝐸²𝑀²

(𝑀+𝑚)²

𝑁𝑛

.

(9)

Мы получили, таким образом, очень простое выражение, в которое входит только полное число электронов в единице объёма, но не входят ни скорость α- или β-частицы, ни характеристики межатомных сил.

Из формул (8) и (9) нетрудно вывести распределение вероятности толщин слоёв вещества, которые частицы с данной начальной скоростью пройдут до полной потери своей энергии. Полагая Δ𝑇 = Δ₀𝑇(1+𝑠), мы получаем для вероятности того, что 𝑠 лежит в пределах от 𝑠 до 𝑠 + 𝑑𝑠,

𝑊(𝑠) 𝑑𝑠

=

⎧

⎪

⎩

𝑢

2π

⎫½

⎪

⎭

𝑒

^{-½𝑢𝑠²}

𝑑𝑠

,

(10)

где

𝑢

=

(Δ₀𝑇)²

𝑃Δ𝑥

=

φ

𝑃

Δ

₀

𝑇

,

(11)

причём φ — среднее значение Δ𝑇/Δ𝑥.

Если теперь предположить, что разброс пучка в поперечном направлении мал [это предположение неявным образом уже было нами использовано при выводе формулы (8)], то формула (10) даёт также вероятность того, что при заданной потере энергии Δ𝑇 частица пройдет слой толщиной в пределах между Δ𝑥 = Δ₀𝑥(1 + 𝑠) и Δ𝑥 + 𝑑𝑥 = Δ₀𝑥(1 + 𝑠 + 𝑑𝑠), где Δ₀𝑥 = Δ₀𝑇/φ. Чтобы найти вероятность 𝑊(𝑅) 𝑑𝑅 того, что частица до полной потери энергии проникнет в слой толщиной в пределах от 𝑅 до 𝑅 + 𝑑𝑅, разделим интервал 0 - 𝑇 на большое число малых частей Δ₁𝑇, Δ₂𝑇, … . Обозначим величины 𝑢, Δ𝑥, φ и 𝑠, относящиеся к 𝑟-й части интервала, через 𝑢_𝑟, Δ_𝑟𝑥, φ_𝑟 и 𝑠_𝑟. Расстояние, на которое проникает данная частица, равно

𝑅

=

∑

Δ

_𝑟

𝑥

=

∑

Δ_𝑟𝑇

φ_𝑟

(1+𝑠

_𝑟

)

.

Отсюда, обозначая среднее значение пробега частицы через 𝑅₀ получаем

𝑅-𝑅

₀

=

∑

Δ_𝑟𝑇

φ_𝑟

𝑠

_𝑟

.

Точно таким же образом, как это было сделано при выводе формулы (8), мы теперь получаем

𝑊(𝑅) 𝑑𝑅

=

(2π𝑈)

^-½

exp

⎡

⎢

⎣

-

(𝑅-𝑅₀)²

2𝑈

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑅

,

(12)

где

𝑈

=

∑

⎧

⎪

⎩

Δ_𝑟𝑇

φ_𝑟

⎫²

⎪

⎭

1

𝑢_𝑟

=

𝑃

∑

Δ_𝑟𝑇

φ_𝑟³

,

или просто

𝑈

=

𝑃

_𝑇

∫

⁰

⎧

⎪

⎩

𝑑𝑇

𝑑𝑥

⎫-3

⎪

⎭

𝑑𝑇

,

(13)

причём величина Δ𝑇/Δ𝑥 заменена её средним значением 𝑑𝑇/𝑑𝑥.

Формулы (8) и (9), а следовательно, и (12) и (13) были получены в предположении, что столкновения, испытываемые быстро движущейся частицей при прохождении через тонкий слой вещества, могут быть подразделены на группы таким образом, что изменение 𝑄 в пределах каждой группы мало, в то время как число столкновений в каждой группе велико. Условием справедливости этого предположения является требование, чтобы величина λ = (𝑑𝐴/𝑑𝑄)/𝑄 была бы велика но сравнению с единицей. Имея в виду формулы (1) и (3), получаем

λ

=

π𝑁𝑛

Δ

𝑥

(𝑝²+𝑎²)

.

(14)

Мы видим, что λ равна среднему числу электронов внутри цилиндра с радиусом √𝑝²+𝑎². Так как λ уменьшается с уменьшением 𝑝, нам достаточно рассмотреть его значение при 𝑝 = 0. Подставляя значение для 𝑎, имеем

λ

₀

=

π𝑒²𝐸²(𝑀+𝑚)²𝑁𝑛Δ𝑥

𝑀²𝑚𝑉⁴

.

Если мы рассмотрим газы при обычной температуре и давлении и подставим численные значения величин 𝑒, 𝑚, 𝐸, 𝑀, и 𝑁, получим для α- и β-лучей приближённое значение λ₀:

λ

₀

=

2,3⋅10

³⁷

𝑛Δ𝑥

𝑉⁴

.

Это выражение очень сильно зависит от 𝑉 и даёт совершенно различные результаты для α- и β-частиц.

Для α-лучей радия С мы имеем 𝑉 = 1,9⋅10⁹ см/сек; тогда λ₀ оказывается равным 1,7𝑛Δ𝑥. Пробег α-лучей из радия С в водороде и гелии равен примерно 30 см, а число электронов 𝑛 в молекулах этих газов, согласно теории Резерфорда, равно двум. Мы видим, таким образом, что λ₀ велико по сравнению с единицей, если толщина пройденного слоя не очень мала по сравнению с пробегом. Для других газов значение λ₀ будет ещё больше, так как для них произведение числа электронов в молекуле на пробег будет больше, чем в случае водорода или гелия. Можно ожидать поэтому, что в случае водорода или гелия выведенные выше формулы будут давать хорошее приближение. Чтобы получить представление о порядке величины ожидаемого разброса величины потерь энергии, испытываемых α-частицей, рассмотрим, например, пучок α-частиц, проходящий через слой газообразного водорода толщиной 5 см. Используя экспериментальное значение для констант, мы получаем из формулы (11), что 𝑢 примерно равно 3⋅10³. Подставляя это значение в формулу (10), мы видим, что величина разброса очень мала. Около половины всех частиц испытывает потери энергии, отличающиеся от их среднего значения не более чем на 1%, и менее чем у 1% частиц потери энергии отличаются более чем на 5%. В § 4 мы вернёмся к этому вопросу и сравним формулу (12) с измерениями.

Для β-лучей, имеющих скорость около 2⋅10¹⁰ см/сек, в случае слоя алюминия толщиной 0,01 г/см², которая соответствует толщине слоя, использовавшегося в экспериментах, обсуждаемых в § 5, получаем λ₀ = 1,6⋅10^-2. Так как эта величина очень мала по сравнению с единицей, то предположения, сделанные при выводе формул (8) и (12), совершенно не выполняются. Однако из этих расчётов всё же оказывается возможным сделать некоторые важные заключения относительно соответствия теории и эксперимента.